J80 
Heeft  deze  Diiddel  waarde  voor  toenemende  n een  limiet,  dan  heet 
de  reeks  sommeerbaar  van  de  orde  *). 
Dat  uit  de  sommeerbaarlieid  van  de  orde  (en  evenzeer  uit  de 
convergentie)  eener  reeks  direct  volgt  de  sommeerbaarlieid  van  de 
{p orde  tot  dezelfde  ,,som”  indien  is  een  bekende 
stelling  ’). 
Bewijs  van  theorema  1. 
Zij  de  reeks  -|-  ^2  + • • • • absoluut  convergent  en  haar  som  s, 
zij  de  reeks  ^1  + <('2  + • ■ • • sommeerbaar  van  de  orde,  dus 
7’^c+i) 
Urn.  = t dan  moet  bewezen  worden: 
Urn  . 
„=00 
t 
We  hebben  voor  de  uitdrukking: 
Wir^-I)  =z  ai  4-  02  + . . . + a„  7’(p+n  . . (7) 
Stel  /t„= — t,  dan  is  Urn  hn  = 0.  Substitutie  van 
T(p+i)  = MO'+l)  + hn  ^(p+1) 
U 11  H 
in  formule  (7)  geeft: 
ffy+i)  = 
^rai^fc+i)  t-i-aiA(P+^^h„+a2A(r+^H+a2Aw+^h,i^i+..+a„A[r+'H+anA(e+^^hi 
n n n — 1 Ji— I 1 1 
= t [ai  A^^P+'>-)  4-  02  • -j-  + 
4-  [«1  hn  4“  “2  hn—1  4-  • - ■ 4-  /li]  . 
= P+Q. 
r=  t [oi  ^0>+i)  -4  02  4-  . . . + a„  ^4+i)J  = 
= t [si  yl(c+lj  4-  (S2  — «])  AiP+j'’  + • • • + O»  — «H— l)  = 
= t Dl  (^C/'+i)  — A^vM))  4-  «2  ^O-'+O)  4- . , , 4-  s„  = 
•-  n «—1  n — 1 n—z  1 
::::  t [ii  A^iP  4"  ^2  -Ab')  ^ -j-  • • 4~ 
— A(p)  S(')  Air)  4- . . . + »S(i)^(/b] 
= t [5(c)  ^l(i)  4-  SUn  AW_^  + . . . 4-  Sjr)  yKb] 
= < 180')  4-  80')  + . . . 4-  'SO')] 
= t 80'+i). 
4 In  de  hier  gegeven  definities  krijgt  de  eerste  term  der  reeksen  de  index 
1 en  niet  O zooals  vaak  gedaan  wordt. 
=*)  Bhomwich.  l.c.  (p  312). 
