182 
Bewijs  van  theorema  2. 
Zij  de  reeks  -|-  ^2  -j-  . . . convergent  (som  = s)  en  de  reeks 
èi  + ^2  + • • • soinmeerbaar  van  de  orde  (som  = t),  terwijl  baar 
middel  waarden  van  de  [p — orde  begrensd  zijn,  dan  moet  be- 
wezen worden : 
lim  . = s . t 
Zij  = s„  = s A,„  dan  is  Urn  . h„  = 0 
(6) 
vro>+i)  = sw  Tip)  + sw  + sj)  Tiw 
=r  (s  + hj  Tip)  + (^  + h,)  TW  ^ + . . . 4-  h„)  Tip) 
—s\ Tip)^  T<p)  ^+...  + r (p)]  + [/^  Tip)  + /i,  7’( P)^  + ...  + hn  2Y)] 
= B + S.  ■ 
, ' , B = s [Tb')  + 7’00  ^ + • . • + Ï’W]  = sTiP+i) 
R 7’(p+i) 
^(p+i)  ~ * ■ ^(p+ïj' 
Daai‘  de  reeks  6i  + è,  -j-  . . . sommeerbaar  is  van  de  orde,  is 
R 7’(p+') 
lim  . 7—,  - = s . t (iïnmers  — s . Hm  . 
„^00  Aip+i)  ^ u=o>  Aip+^r 
S = A,  Tip)  -f  A,  Tipj^  + . , . ^ /i„  T(p). 
Daar  de  middel  waarden  van  de  orde  (p — 1)  begrensd  zijn,  is  M 
te  berekenen,  zoodat; 
|T07| 
j^-j  M.  Derhalve: 
|S|<M|  1A,|  vl(p)  -f  \hj  Aipj^  + . . . + !A„|  Aj)].  . . (8) 
Stel  |A„|  = dan  is  blijkens  formule  (4) 
i A,  i ^(P)  f 1 A,  + - 4- 1 hu  I Aip)  = 
= 77(1)  Aip)  + RW  Aip)  +...  + /ƒ(')  Ap) 
1 ;i  2 71  — 1 71  1 
= Hip)AW  + A/^p)yl(i_)_|  + . . . + 774)  ^(1.) 
— /yoO  4_  Hip)  . 4-  Hip)  = 77(p+i) 
De  ongelijkheid  (8)  is  nu  te  schi-ijven; 
I 8 : < 17.  77(p+i) 
derhalve  : 
