185 
V 
Derhalve : 
U 
V 
„=J  J(/'+9+l) 
Iv/i  . 
Opmerking  1. 
Omtrent  de  draagwijdte  van  deze  theorema’s  zij  het  volgende 
opgemerkt : 
K.  Knopp  en  S.  Chapman ’)  hebben  door  invoering  van  raiddel- 
waarden,  waarvan  de  orde  niet  geheel  is,  nadere  beperking  opgelegd 
aan  de  orde  van  sommeerbaarheid  van  het  product  van  twee  reeksen, 
die  van  de  p^^  en  orde  sommeerbaar  zijn.  Dat  er  gevallen  zijn, 
waarin  door  de  bewezen  theorema’s  meer  resultaat  bereikt  wordt, 
blijkt  uit  het  volgende  voorbeeld : 
De  reeks  1 — 1 -j-  1 — 1 . is  sommeerbaar  van  de  eerste 
orde,  terwijl  haar  middelwaarden  van  de  orde  0 begrensd  zijn. 
'Volgens  theorema  3 is  dus  het  product  van  deze  reeks  met  een 
willekeurige  reeks,  die  sommeerbaar  is  van  de  p'^^'  orde,  sommeer- 
baar van  de  (/.»  1)'^®  orde. 
Volgens  Ohapman  (1.  c.)  is  de  zoogenaamde  index  van  sommeer- 
baarheid van  de  reeks  1 — 1 -j-  1 — 1 . gelijk  aan  nul,  terwijl 
die  van  de  andere  reeks  niet  grooter  kan  zijn  dan  p,  zoodat  de  index 
van  het  product  niet  grooter  kan  zijn  dan  p 1,  waaruit  volgt  dat 
de  minimale  orde  van  sommeerbaarheid  van  dit  product  niet  grooter 
is  dan  p 2,  terwijl  theorema  3 als  bovenste  grens  gaf  p 1. 
Opmerking  2. 
Door  Hahdy  ’)  is,  behalve  de  in  den  aanhef  van  dit  opstel  geme- 
moreerde generalisatie  van  de  stelling  van  Mertens  een  geheel  andere 
gegeven,  die  de  stelling  van  Mertens  als  bijzonder  geval  bevat,  n.1.: 
Is  een  absoluut  convergente  reeks  {som  = s),  en  oscilleert  de 
reeks  tusschen  de  waarden  en  t,,  terwijl  Hm  . b„  = 0,  dan 
n=cc 
oscilleert  het  product  dezer  reeksen  tusschen  de  waarden  s.  en  s. 
')  Sitzungsberichte  der  Berliner  Math.  Gesellschaft  1907  (p.  1—12). 
**)  Proceedings  of  the  London  Mathematical  Society,  Ser.  2 Vol.  9 (p.  369—409). 
®)  Proceedings  of  the  London  Mathematical  Society,  Ser.  2 Vol.  6(p.410 — 423). 
