186 
Hierbij  zijn  de  termen  ai  en  bi  blijkbaar  reëel  ondersteld,  waar- 
door de  stelling  van  Mertens  ook  alleen  voor  reeksen  met  reëele 
termen  een  bijzonder  geval  van  deze  stelling  is. 
We  zullen  echter  zien  dat  de  bewijsvoering  van  Hardy  ook  geldig 
is  voor  de  volgende  uitbreiding  op  reeksen  met  complexe  termen  : 
Theorema  4 ; Is  ’^ün  een  absoluut  convergente  reeks  met  som  s en 
is  b\  b-i  begrensd,  terwijl  lini . b,,  = 0,  da7i  schommelt 
?1  = 00 
het  product  van  de  reeksen  Ua,i  en  2Jbn  op  den  duur  over  hetzelfde 
waardegebied  als  de  reeks  s.  2b„. 
Hiermede  bedoelen  we  dat  bij  elk  positief  getal  s een  getal  fi  en 
een  positief  getal  a te  berekeneti  zijn  met  de  eigenschap,  dat  bij  elk 
getal  71  'j>  n een  getal  m te  bei’ekenen  is,  zoodat  (in  de  notatie  3a 
uitgedrukt) ; 
1 'fo„  — a . t„,  I O f en  I n — oi  j a 
en  ook  omgekeerd  bij  elk  getal  m O /i  een  getal  n te  berekenen  is, 
zoodat  aan  dezelfde  betrekking  voldaan  is. 
(de  notatie  is  dezelfde  als  die  bij  de  vorige  theorema’s  gebruikt  is). 
Ten  slotte  zullen  we  nog  een  theorema  bewijzen,  dat  theorema  1 
als  bijzonder  geval  bevat  en  analoog  is  met  theorema  4,  n.1.  : 
Theoi-ema  5:  Is  ^a,,  een  absoluut  convergente  reeks  niet  som  s,  zijn 
de  middelwaarden  van  de  /)*  orde  van  ^b,,  begrensd,  terwijl  de  middel- 
waarden  van  de  (/;-l)‘"®  orde  [die  loe  voorstellen  door  voldoen 
aan  de  betrekking  : 
m) 
Urn  = O 
n=a>  n 
dan  schommelt  de  middelwaarde  van  de  orde  van  het  product 
der  reeksen  '^a,,  en  Hbn  op  den  duur  over  hetzelfde  waardegebied  als 
s. 
n 
Hiermede  wordt  weer  bedoeld  dat  bij  elk  positief  getal  e een  getal 
H en  een  positief  getal  a te  berekenen  zijn  met  de  eigenschap,  dat 
bij  elk  getal  n j>  ii  een  getal  m te  berekenen  is,  zoodat : 
I Wh'+i)  j 
en  ook  omgekeerd  bij  elk  getal  m j>  n een  getal  n te  berekenen  is, 
zoodat  aan  dezelfde  betrekking  voldaaji  is. 
1)  Of  Habdy  ook  reeksen  met  complexe  termen  beschouwd  heeft,  blijkt  niet  uit 
zijn  artikel,  daar  het  gedeelte  dat  aan  het  bedoelde  theorema  voorafgaat  handelt 
over  reeksen  met  reëele  termen  en  zijn  formuleering  van  het  theorema  m.  i.  ook  aan 
reëele  termen  doet  denken,  terwijl  toch  zijn  bewijsvoering  onveranderd  doorgaat 
voor  reeksen  met  complexe  termen. 
