Wiskunde.  — Jan  de  Vries;  „Afbeelding  van  de  lijnelementen  van 
een  vlak  op  de  raaklijnen  van  een  hyper boloïde” . 
1.  Om  een  afbeelding  te  verkrijgen  van  de  lijnelementen  {P,l) 
van  een  vlak  a beschouw  ik  een  hjpei'boioide  H,  die  a in  A raakt 
en  volgens  de  rechten  a^  en  snijdt.  Zij  R de  projectie  van  op 
H uit  het  op  H gelegen  punt  O,  p bet  raakvlak  in  R,  r de  snijlijn 
van  Q met  het  vlak  01,  dan  beschouw  ik  r als  het  beeld  van  het 
door  R en  / gevormde  lijnelement. 
Is,  omgekeerd,  r een  raaklijn  van  H,  R het  raakpujit,  P de 
projectie  van  R,  I de  projectie  van  r,  dan  heeft  het  lijnelement  (P,/) 
de  raaklijn  r tot  beeld  ‘). 
De  rechten  van  H,  die  elkaar  in  O snijden,  noem  ik  b^  en  è, ; 
è,  snijdt  « in  een  punt  van  a^,  6,  gaat  door  een  punt  P,  van  aj. 
2.  Als  / door  P,  gaat  en  P met  P,  samenvalt,  dan  is  R het 
raakpunt  van  het  vlak  bj,  en  elke  in  dat  vlak  gelegen  raaklijn  r 
kan  als  beeld  (Pj,/)  worden  beschouwd.  Dus  is  (P,,/)  een  singulier 
element  en  zijn  beeld  de  waaier  (?■)  om  R.  Als  / om  Pj  wentelt, 
doorloopt  de  waaier  (?■)  de  parabolische  bilineaire  congruentie,  met 
richtlijn  6,,  gevormd  door  de  raaklijnen,  die  hun  raakpunten  op  b^ 
hebben.  Analoog  zijn  de  lijnelementen  (P,,/)  singulier. 
Is  P een  willekeurig  punt  der  rechte  è = P,7ij,  dan  ligt  R in  O. 
Het  lijnelement  {B,b)  is  dus  ook  singidier  en  wordt  afgebeeld  door 
den  waaier  (u)  der  rechten,  die  H in  O aanraken,  en  in  het  raakvlak 
<o  liggen. 
Dus  is,  omgekeerd,  elke  raaklijn  a daar  zij  alle  elementen 
iB,b)  afbeeldt.  Maar  tevens  is  zij  het  beeld  van  alle  elementen, 
waarvan  het  punt  P in  den  doorgang  van  o ligt,  want  r wordt  uit 
O geprojecteerd  door  elk  vlak,  dat  r bevat.  De  waaier  {O,io)  is  dus 
hel  beeld  van  het  nulstelsel  JSf  (0,1),  waarin  N op  b ligt. 
Zij  ƒ/,  een  rechte  van  ti,  die  6.^  en  a.^  snijdt,  zoodat  haar  piojectie 
door  P,  gaal.  Daar  elk  punt  van  ƒ/,  als  raakpunt  R is  Ie  be- 
schouwen, is  P een  willekeurig  punt  van  g^  en  g^  het  beeld  van 
alle  op  (/,  gelegen  lijnelementen.  De  rechten  der  regelscharen  (^,)  en 
\gj)  zijn  dus  singuliere  raaklijnen. 
*)  Eeti  fraaie  afbeelding  der  lijneleiiienten  van  v.  op  de  punten  der  ruimte  vindt 
men  in  het  proefschrift  van  Dr.  G.  Schaake.  (Afbeeldingen  van  figuren  op  de 
punten  eener  lineaire  ruimte,  P.  NoordhofT,  1922). 
