239 
3.  Door  het  symbool  (A,jr)  worde  een  stelsel  van  lijnelementen 
iP,l)  aaiigeduid,  waarin  de  piniten  P op  een  kromme  van  den  graad 
7t  liggen,  en  de  rechten  / een  kromme  van  de  klasse  X omhullen. 
Het  beeld  van  een  ivaaier  (1,0)  is  blijkbaar  een  ivaaier  van  raak- 
lijnen. Als  P in  A ligt,  valt  de  waaier  (r)  met  den  waaier  {A,l) 
samen.  De  waaiers  en  (P^,/)  worden  afgebeeld  door  congruenties 
(1,1)  (zie  § 2). 
Het  beeld  van  een  stelsel  (0,1)  bestaat  uit  de  raaklijnen  van  een 
kegelsnede  -O,  gelegen  in  het  projecteerend  vlak  der  vaste  rechte  /. 
Een  stelsel  (1,1)  bestaat  uit  de  lijnelementen,  waarvan  P op  een 
rechte  c ligt  en  / door  een  punt  D gaat.  Als  P de  i'echte  c beschrijft, 
doorloopt  R een  kegelsnede  y-’  (door  O)  en  p omliult  den  raakkegel, 
die  de  pool  van  het  vlak  y van  p tot  top  heeft.  Het  vlak  6=  01 
wentelt  om  d=OD  en  beschrijft  een  bundel,  die  projectief  is  met 
het  stelsel  dei’  raakvlakken  q (index  2).  De  beeldrechten  r beschrijven 
dus  een  kubisch  regelvlak,  waarvan  d de  dubbele  richtlijn  en  y^  een 
richtkromme  is. 
De  doorsnee  van  dit  regelvlak  (r)°  met  het  vlak  y bestaat  blijkbaar 
uit  de  kegelsnede  p en  de  raaklijn  o,  die  op  c rust,  en  het  beeld 
is  van  het  tot  (1,1)  behoorend  lijnelemenl  De  snijpunten  van 
p met  c liggen  op  de  rechten  en  a^\  de  lijnelementen,  waaidoe 
zij  belmoren,  worden  afgebeeld  door  de  raaklijneji  van  (/•)“,  die, 
afgezien  van.  o,  op  c rusten.  Tot  (r)°  behooren  twee  rechten  van  H.  \ 
zij  snijden  elkaar  op  d en  zijn  de  beelden  der  lijnelementen,  waarvoor 
/ door  Pj  of  P,  gaat. 
4.  Zij  nu  gegeven  een  stelsel  (A,jr).  De  kromme  (Pj,  die  van  den 
graad  Jt  is,  wordt  uit  O geprojecteerd  door  een  kegel  van  denzelfden 
graad  en  deze  snijdt  PI  volgens  een  kromme  (P)  van  den  graad  2jr 
(met  dubbelpunt  in  O).  Het  poolvlak  van  het  willekeurig  gekozen 
punt  F bevat  dus  2a:  punten  R\  hieruit  volgt,  dat  de  raakvlakken 
p een  oppervlak  van  de  klasse  2a  omhullen.  Bij  elk  vlak  p behoort 
één  vlak  01-,  daarentegen  zijn  aan  een  vlak  01  (dat  .t  [)unten  P 
bevat)  JT  vlakken  p toegevoegd.  De  vlakken  01  en  de  raakvlakken 
p bepalen  op  een  willekeurige  rechte  een  verwantschap  met  ken- 
merkende getallen  Xtt  en  2;i.  Door  elke  coïncidentie  gaat  een  beeld- 
rechte r,  dus  wordt  het  stelsel  (A,jr)  door  een  regehdak  van  den  graad 
(A  -j-  2)  jr  afgebeeld. 
Een  stelsel  (A,jr)  bevat  2A  rechten  /,  die  door  P,  of  dooi- P^  gaan. 
Daar  zij  elk  jt  lijnelementen  dragen,  bevat  het  regelvlak  2A  rechten 
der  hyperboloïde,  die  ieder  Ji-voudige  rechten  van  het  regelvlak  zijn. 
Het  stelsel  (1,-^),  waarin  de  punten  P een  kromme  (P)  van  den 
