Wiskunde.  — H.  D.  Kloosterman;  ,,Een  stellmg  betreffende  macht- 
reeksen van  oneindig  veel  veranderlijken,  met  toepassing  op 
reeksen  van  Dirichi,et”  '). 
(Aangeboden  door  de  Heeren  J.  C.  Kluijvee  en  P.  Ehrenfest). 
Door  H.  Bohr  “)  is  een  belangrijk  verband  gevonden  tnsschen 
de  theorie  der  reeksen  van  Dirichlet  eenerzijds  en  de  theorie  der 
machtreeksen  van  oneindig  veel  veranderlijken  andererzijds  (we  zullen 
afgekort  schrijven  : machtreeksen  v.  o.  v.  v.).  Laat 
= i s = + 
n=l  n* 
(1) 
i een  gewone  reeks  van  Dirichlet  voorstellen.  Zet  men  x,=—. 
\ 2*' 
1 1 
Xm  = ~ . (waar  p,„  het  m-de  priemgetal  is),  en  is 
n — Pj  ■ ■ ■ • Pj  de  ontbinding  van  n in  priemfaktoren,  dan  kan 
men  de  reeks  (1)  schrijven  als  een  machtreeks  v.  o.  v.  v., 
als  volgt ; 
P (x\,  . , . .v,„  ,...)  = a„  . . . x-^r  — 
c -|-  ^ ^ Xx  X(3  4-  Cx  a.y  XoL  X(i  Xy  . . 
«=1,2,...  «,(3=1,2,...  a,/3,v=l,2,... 
« < ^ « < /3  < V 
! 
I 
I 
i 
I 
1 
. Het  bedoelde  verband  is  door  Bohr  o.a.  toegepast  op  het  z.g. 
absolute  konvergenüeprobleein  voor  de  reeksen  van  Dirichlet,  d.  w.  z. 
de  bepaling  van  de  absolute  konvergentie-abscis  van  (1)  (de  onderste 
grens  van  alle  getallen  p,  zoodanig  dat  (1)  voor  absoluut 
konvergeert),  met  behulp  van  (liefst  zoo  eenvoudig  mogelijke)  analy- 
tische eigenschappen  van  de  door  (J)  voorgestelde  functie.  Laat  B 
de  absolute  konvergentie-abscis  van  (1)  zijn  en  D de  onderste  grens 
van  alle  getallen  a,  looóio.mg,  f{s)  voor  a regulair  en  begrensd 
is.  Het  absolute  konvergentieprobleem  is  opgelost  als  men  het  ver- 
schil B — P kent.  Bohr  bewijst,  dat  B=D  voor  iedere  reeks  van 
b Uitvoeriger  mededeelingen  hieromtrent  zullen  elders  verschijnen, 
b Göttinger  Nachrichten,  1913. 
I 
16* 
