244 
DiRicHLET,  die  zuiver  formeel  voorgesteld  kan  worden  in  één  van 
de  beide  volgende  vormen  : 
/(.)=  i 1 
,«=i  /=i  (??'  )* 
of 
1+ 
1=1 
of  wat  op  hetzelfde  neerkomt,  voor  iedere  reeks  van  Dirichlet, 
waarvoor  de  bijbelioorende  machtreeks  v.  o.  v.  v.  den  vorm 
..)  = 2Q„  (x„) (2) 
n=l 
of 
Pia;,.x„...x,n,...)=n(]  + Q„{.v„))  ...  (3) 
n=l 
heeft,  waar  Q„\a;„)  {ii  = 1,2,  ...  .)  een  machtreeks  is  in  Xn  zonder 
konstanten  term.  Dit  hangt  daarmee  samen,  dat  de  machtreeksen 
(2)  en  (3)  de  eigenschap  hebben,  dat  uit 
a.  Begrensdheid ’)  voor  |.r„|  ^ 6'n  (n  = 1,  2,  ...  .),  volgt 
b.  Absolute  konvergentie  voor  |^n|  waar  ^ een  willekeurig 
positief  getal  in  het  interval  0 ^ <9  1 is  ’).  ! 
Beschouwen  we  de  machtreeksen  (2)  en  (3),  dan  zien  we,  dat  de 
veranderlijken  in  zekere  mate  afgezonderd  van  elkaar  optreden,  i 
Dit  voerde  Bohr  tot  het  vermoeden,  dat  de  gelijkheid  .0  = Z)  geldt  | 
voor  iedere  reeks  van  Dirichlet,  waarbij  de  veranderlijken  in  de  j 
1)  Naar  Hilbert  (Wesen  und  Ziele  einer  Analysis  der  unendlich  vielen  unab- 
hangigen  Variabeln,  Palermo  Rendiconti,  Bd.  27,  pag.  67)  heel  een  machtreeks 
V.  o.  V.  V,  begrensd,  als  aan  de  volgende  voorwaarden  voldaan  is  ; 
1°.  De  machtreeksen  Pm{Xi,  x.2,  . . . Xm)  (Abschnitte),  die  men  uit  de  machtreeks  j 
v.  o.  V.  V.  verkrijgt,  door  daarin  .Xm+i  = Xm+2  = . . . = 0 te  zetten,  zijn,  voor  : 
alle  waarden  van  m,  in  het  gebied  öi,  \xi\  ^ Gg, . . . . |a:m|  ^ Gm,  absoluut  i 
konvergent.  i 
2^.  Er  bestaat  een  van  m onafhankelijk  getal  K,  zoodanig,  dat,  voor  iedere  m, 
in  het  gebied  |xi|  ^ Gj,  Ix^l  ^ G^,  ...  ■ |a:m|  ^ Gm  de  ongelijkheid 
I Z’mC-v,,  ir,,  . . . ar,„)  I < A 
geldt. 
Zooals  bekend  is,  volgt  b uit  a voor  iedere  machtreeks  van  een  eindig  aantal 
veranderlijken.  Oorspronkelijk  had  Hilbert  (zie  noot  ’))  dit  ook  voor  o.  v.  v.  als 
vanzelfsprekend  aangenomen.  Bohr  wees  er  echter  op  dat  dit  onjuist  is,  nl.  door 
het  conslrueeren  van  een  voorbeeld. 
