245 
bijbehoorende  machtreeks  v.  o.  v.  v.  niet  al  te  zeer  vermengd  voor- 
komen. Bevestiging  hiervan  is  het  doel  van  dit  opstel.  Men  kan  nl. 
bewijzen  dat  B = D voor  iedere  reeks  van  Dihichlet,  die  formeel 
in  den  volgenden  vorm  geschreven  kan  worden  : 
a I 
f{s)  = <p  ^ 2 
1=1  {pi  y 
waar  cp  een  willekeurige  (niet  konstante* *))  geheele  transcendente 
functie  is.  Als  gevolg  van  het  reeds  meermalen  genoemde  verband 
tusschen  de  twee  theorieën  is  hiermede  de  volgende  stelling  be- 
treffende machtreeksen  v.  o.  v.  v.  equivalent. 
Stelling.  Is  (p  een  geheele  transcendente  functie  en  Qr,{x,)  (n  = 1,  2, . . .) 
een  formeele')  machtreeks  in  .r„,  zonder  konstanten  term  en  is  de 
machtreeks  v.  o.  v.  v.  P{x^,x^, Xm, ) = -f 
+ Qmix„,)  -f-  . . . .)  voor  |a;„|  ^ Gn  (n  = 1,  2,  . . . .)  begrensd,  dan  is 
ze  voor  absoluut  konvergent,  als 
In  het  volgende  zal  het  bewijs  van  deze  stelling  in  het  kort 
worden  weergegeven. 
^ 2.  Eenvoudigheidshalve  nemen  we  = 0^  = . . . . = Gu  = Gf>i, 
zoodanig  dat  ^G<i_l. 
Vanwege  de  begrensdheid  (zie  noot  *),  vorige  blz.)  bestaat  er  een 
van  771  onafhankelijke  konstante  K,  zoodanig,  dat 
lv(Q,(^,)  + Q,(^,)  + --  + Q,»(.^,n))l<Ar.  ...  (4) 
Het  eerste  gedeelte  van  het  bewijs  van  de  stelling  van  ^ 1 houdt 
zich  bezig  met  een  discussie  van  de  machtreeksen  Q„  (x„)  (n  = 1,2, ). 
Bewezen  wordt,  dat  uit  (4)  volgt,  dat  deze  alle  een  zeker  konvergentie- 
gebied  bezitten.  Een  verder  onderzoek  toont,  dat  zich  2 gevallen 
kunnen  voordoen : 
1'.  De  functies  Qn  (a;„)  zijn  alle  regulair  voor  |a’„l<C  G.  Dit  is  het 
algemeene  geval. 
2*.  Heeft  de  geheele  transcendente  functie  (p  (g)  den  voi-m 
(waar  V weer  een  geheele  transcendente  functie  is),  dan  kan  men 
slechts  besluiten,  dat  de  functies  Qn{Xr,)  logarithmen  zijn,  van  voor 
|«h|<C  regulaire  functies,  n.1.  den  vorm  Q,fxri)  = log{l  -\-  Rn{x„)) 
hebben,  waar  R„(x„)  voor  6r  regulair  is  en  ii,i(0)  = 0*). 
h Voor  konstante  f is  het  triviaal. 
*)  D.  w.  z.  bestaan  van  een  konvergentiegebied  woedt  niet  a priori  aangenomen, 
maar  zal  blijken  een  gevolg  van  de  overige  gegevens  te  zijn. 
Interessant  is,  dat  klaarbliikelijk  de  reeks  (2)  met  (p(y)  = y tot  het  eerste 
geval  behoort  en  de  reeks  (3)  met  (p(y)  = e!f  V (z)  = z,  tot  het  tweede  geval. 
