246 
Kortheidslialve  beperken  we  ons  verder  tot  het  eerste  geval.  (Het 
bewijs  in  het  tweede  geval  is  niet  wezenlijk  verschillend,  hoewel  in 
details  iets  ingewikkelder).  Dan  zijn  de  functies  Qn{Xn),  vanwege 
G'^1  alle  in  hnn  resp.  cirkels  |.r„|  ^ 1 regulair. 
Voor  iedere  functie  ƒ (2),  die  regulair  is  in  den  cirkel  i,  en 
waarvoor  ƒ (0)  =:  0,  kunnen  we  een  getal  r definieeren  als  volgt:  r 
is  de  straal  van  den  grootsten  cirkel,  waarvan  alle  punten  getallen 
voorstellen,  die  door  ƒ (2)  in  den  cirkel  |2|^  1 worden  aangenomen. 
Laat  Vn  (n  = 1 , 2,  . . . .)  de  overeenkomstige  grootheid  voor  Qn  (:c„) 
00 
zijn.  Dan  bewijzen  we  nu  eerst,  dat  de  reeks  2 r„  konvei-geert. 
n = \ 
Daartoe  beschouwen  we  (4),  geldig  voor  alle  waarden  van 
.c,,  x^,  . . . . Xm,  waarvoor  |,r,j|  ^ 6r  (n  = 1,  2,  . . . . m),  dus  zeker  voor 
|,r„|  ^ 1.  Omdat  (p  (y)  een  geheele  transcendente  functie  is,  kunnen 
we  een  positief  getal  L zoo  groot  kiezen,  dat  het  maximum  van 
\(f{y)\,  op  den  cirkel  \y\=  L,  grooter  dan  K is.  Stel  nu,  dat  voor 
één  of  andere  waarde  van  m ■.  + • • • • + ^ was 
het  maximum  van  \<p  {y)\  op  den  cirkel  \y\=  + ■ • ■ • + '>'m, 
grooter  dan  K.  Laten  we  nn  de  veranderlijken  (n  = J , 2,  . . . . m) 
hun  resp.  cirkels  1 doorloopen,  dan  neemt  daarbij  Qn 
waarden  op  den  cirkel  j Q„  (a-,;) | = ?’n  aan,  en  bijgevolg  neemt 
Qi  + ö,  {^\)  + • • • • 4-  Q'n  alle  waarden  op  een  cirkel  met 
straal  r,  '’ü  + • • • • + Ln  a®®-  1®  het  bijzonder  kunnen  we  een 
stel  waarden  x\,  x\,  . . . . x'm  vinden,  zoodanig  dat 
y — Q,  (.-r',)  + Q,  (■»',)  + • • • + Qm{xm)  ^ (^1  + r,  -1-  . . + 
waar  (?'i  + r,  . -1-  ’’m)  dat  punt  van  den  cirkel  |y|=  i\  -1- 
+ r,  + . . . -|-  waar  | (p  [y)  | zijn  maximum  bereikt.  Vólgens 
het  bovenstaande  zou  dus 
I (f  (Q:  (^\)  + Q,  (^',)  + • . • 4 Q,n(.^'m))  I > 
wat  in  strijd  is  met  (4).  De  veronderstelling  -f- . . . -j- r,„  ^ L 
kan  dus  onmogelijk  waar  zijn.  Daar  L van  ?ti  onafhankelijk  is, 
00 
volgt  hieruit  de  konvergentie  van  2 ?•„. 
We  passen  nu  toe  de  volgende  stelling  van  Bohr'): 
Stel  dat  de  functie  ƒ (4  = iS"  2”  (ƒ  (0)  = 0),  regulair  is  inden 
n=l 
cirkel  4|^1.  Laat  het  maximum  zijn  van  |/(2)  | op  den 
cirkel  [2  | = (>  (0<^()<^1).  Is  dan  r de  boven  reeds  gedefinieerde 
>)  Nog  niet  gepubliceerd. 
