261 
Uit  deze  vei'gelijkingen  kan  men  A,  B,  C en  D gemakkelijk 
oplossen ; stellen  wij 
A,  (p)  = cosh  ^ (jl  sin  | + sinh  h qI  cos  ^ qI, 
A,  (p)  — cosh  ^ qI  sin  ^ qI  — sinh  ^ qI  cos  i qI, 
dan  wordt 
— 4 p*  Aj  (q)  I A cosh  Q {x — h 0 + U cos  Q ^ l)  j = 
= {eosh  I qI  cos  ^ + sinh  \ {tl  sin  ^ qI)  cosh  q {x  — ^ l)  cosh  q (§ — 4 l) 
4-  cosh  Q (x — ^ l)  cos  Q — 4 0 + Q — 2 0 0 
(cosA  4 qI  cos  A qI — sinh  | qI  sin  ^ ol)  cos  p (x — ^ l)  cos  q (§ — ^ l), 
— 4 p'  A,  (p)  I B sinh  p {x — | l)  4 B sin  p («  — i Z)  j = 
= {cosh  ^ qI  cos  ^ qI  — sinh  ^ qI  sin  4 qI)  sinh  q (x — 4 0 Q^S  ~ è 0 
4-  sinh  Q (x — 4 Q (S  — 2 0 “t"  Q — 2 0 (Z  (§ — 2 
4-  (cosh  4 qI  cos  4 (>^  + 4 2 pO  Q (‘^’ — 2 0 P (s — 4 0- 
Hiermede  is  de  functie  K (x,  S,  P.)  berekend  ; zij  blijkt  een  breuk 
te  zijn  met  den  noemer  4p*  ^,(q)  De  waarden  van  A,  die 
dezen  noemer  O maken,  zijn  de  karakteristieke  getallen  van  het 
probleem  en  zijn,  daar  K(x,§,h)  in  x en  s symmetrisch  is,  alle 
reëel.  Daaruit  volgt,  dat  de  overeenkomstige  waarden  van  q een 
JV 
argument  hebben,  dat  een  veelvoud  is  van  — ; wij  kunnen  echter 
gemakkelijk  aantoonen,  dat  dit  een  even  veelvoud  is,  m.  a.  w.  dat 
de  waarden  van  (>  reëel  of  zuiver  imaginair  zijn  en  dat  de  over- 
eenkomstige waarden  van  A dus  negatief  of  nul  zijn.  Daartoe 
schrijven  wij  eerst  2 A,  (p)  A,  (p)  in  den  vorm  1 — cosh  qI  cos  ol 
en  substitueeren  hierin  Ql=a-\-i^;  stellen  wij  dan  het  reëeledeel 
gelijk  aan  nul,  dan  komt  er 
cosh  a cosh  ^ cos  a cos  j?  4"  ^ ^ sin  a sin  d = 1, 
waaraan  voor  jS  = ± « O niet  voldaan  kan  worden,  omdat  dan 
sinJi*  a = shf  a zou  moeten  zijn,  hetgeen  voor  a^O  niet  mogelijk 
is.  Derhalve  zijn  de  waai’den  van  p reëel  en  zuiver  imaginair  en 
zijn  de  karakteristieke  getallen  negatief,  waarbij  nog  de  waarde 
^ = O komt. 
Is  voorts  p een  wortel  van  Aj  (p)  = O,  dan  is  ook  Zp  (en  bijge- 
volg ook  — p en  — Zp)  een  wortel;  hetzelfde  geldt  voor  de  wortels 
van  Aj  (p)  = 0.  Wij  noemen  de  positieve  wortels  van  de  vergelijking 
tgh  p = — tQ  Pt 
naar  opklimmende  grootte  gerangschikt,  p,,p,,....  en  de  positieve 
wortels  van 
tgh  p = tg  p, 
