268 
i 
O 
d.  i.  de  doorbuigiug  y^{x)-,  deze  is  dus  dezelfde  als  de  gelijknamige 
in  1, 5.  Op  deze  wijze  kunnen  wij  doorgaan  en  zien  zoo,  dat 
reeks  (9)  overeenstemt  met  de  reeks  uit  mededeeling  I. 
7.  Wanneer  de  reeksontwikkeling  niet  convergeert,  kan  het 
gebeuren,  dat  de  in  I medegedeelde  graphisclie  integratiemethode 
met  een  kleine  wijziging  blijft  gelden  (zie  I,  7);  dit  berust  hierop, 
dat  van  de  functies  y„  (.r)  twee  opvolgende  voor  voldoend  groole  n 
bij  benadering  evenredig  zijn.  Wij  zullen  dit  nu  bewijzen;  nauw- 
keuriger uitgedrukt : wij  zullen  aantonnen,  dat 
lim  — _ 
n—^a>  yn  (^) 
is,  waarin  ft  niet  van  x afhangt. 
Men  heeft  voor  /C,  (.r,  §)  de  absoluut  en  uniform  convergente  reeks 
iSTn  £)  = 
^ n’m  (x)  IV, „ (g) 
waarin  de  getallen  (^/'i//)"  en  in  volgorde  van  grootte 
voorstellen  en  Wm(.v)  de  bij  behoorende  genormeerde  karakteris- 
tieke functies.  Stellen  wij  nu 
I 
f 
o 
W„,(§)^'(S}dS  + 
. (10) 
dan  is 
^ ^^(n=l,2,  . . .) 
»'  = 1 A,„ 
een  absoluut  en  uniform  convergente  reeks.  Zij  nu  k de  kleinste 
waarde  van  /n,  waarvoor  P„,  van  0 verschilt,  dan  is 
y„  (,r)  = 
(- 
Ph  Wh  + 
y?.h+ij,n=l  \h+mj 
Pm  Wm  (•«) 
De  reeks,  die  in  het  tweede  lid  dezer  vergelijking  optreedt,  heeft 
een  volstrekte  waarde,  die  kleiner  is  dan  de  van  n onafhankelijke 
som  der  convergente  reeks 
m = 1 h+m 
Daaruit  en  uit 
