Wiskunde.  — M.  J.  Belinfante  : „Over  een  generalisatie  van 
theorema  betreffende  machtreeksen’ . 
(Aangeboden  door  de  Heeren  L.  E.  J.  Brouwer  en  Hendrik  de  Vries). 
Inleiding. 
Iii  dit  artikel  beschouwen  we  machtreeksen  met  complexe  coëf- 
ficiënten, doch  voor  reëele  waarden  van  de  veranderlijke  x.  We 
onderstellen  verder  dat  zij  convergeeren  voor  |.ij  <j  1,  en  verstaan 
onder  x —* *■  1 of  Urn.  dat  x dooi  reëele  waarden  van  beneden  tot  1 
X — ^1 
nadert. 
Tauber  bewees  het  volgende  theorema'): 
00  00 
Indien  lim.nan  = 0 en  hm.  i:an^”  = s,  dan  zal  de  reeks  -2' a„ 
17=  00  X— O O 
convergeeren  tot  s. 
Littlewood  heeft  laten  zien’),  dat  het  gewone  bewijs  van  dit 
theorema  meer  bewijst,  dan  hetgeen  beweerd  wordt,  en  dat  hetzelfde 
bewijs  geldt  voor  het  theorema: 
00 
Als  ^ voor  .r  — ► 1 tnsschen  eindige  grenzen  oscilleert,  en 
o 
00 
lim.nan  = 0,  dan  zullen  de  oscillatiegrenzen  van  a„  dezelfde  zijn 
n—  00  O 
als  de  oscillatiegrenzen  van  2.' anx”  voor  x—^1. 
o 
In  dit  artikel  znllen  uitbreidingen  van  beide  theorema’s  gegeven 
worden  voor  de  zoogenaamde  middelwaarden  van  Höldeh. 
§ 1 bevat  het  bovengenoemde  bewijs  met  een  scherpere  definitie 
van  de  uitdrukking:  ,, schommelen  over  hetzelfde  waardegebied”; 
in  § 2 zal  de  definitie  van  Hölder’s  middelwaarden  benevens  eenige 
noodige  formules  gege\en  worden,  terwijl  § 3 de  uitbreidingen  van 
Taüber’s  theorema  bevat. 
^ 1- 
Deffiitie*):  We  zeggen  dat  f{x)  voor  ai over  hetzelfde  waard  e- 
h Monatshefte  für  Matli.  u.  Pliys..  1897  Bd.  8,  p.  273. 
»)  Proc.  of  the  Lond.  Math.  Soc.,  1911  Vol.  9,  p.  436. 
*)  We  onderstellen  steeds,  dat  x resp.  y langs  reëele  waarden  van  beneden  tot 
x'y  resp.  ï/q  naderen. 
19 
Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXXll.  A**.  1923. 
