295 
lim.ïx.w  — rr  (ic)1  = 0. 
We  conclndeeren  hieruit,  dat  (a’)  eii  cpp_i_i{x)  voor  x^l 
over  hetzelfde  waardegebied  schommelen.  Dit  toepassende  voor 
« = 1,  2,  . . p,  blijkt,  dat  voor  x 1 
CO  X> 
(p^  (a;)  = an  x"  en  fp^  {x)  — 2 [^if’  — /ll— i ] x^ 
over  hetzelfde  waardegebied  schommelen. 
Volgens  het  onderstelde  is  lim.n[A^J'‘' — .4£.i]  = 0;  met  behulp 
?l=oo 
van  theorema  1 volgt  hieruit,  dat  <Pp{x)  = 2 \_A^^ — ^n-i]  x”  voor 
a;-^l  over  hetzelfde  waardegebied  schommelt  als  A^^  = 2 [A^'n' — A^n—\  | 
voor  m—>(x>. 
00 
Door  deze  resultaten  te  combineeren,  blijkt  dat  2anX"  voor  x-*-! 
over  hetzelfde  waardegebied  schommelt  als  A„Ap^  voor  7n -»  oo  . 
Bewijs  van  theorema  3. 
Hulpstelling : 
Uit  Urn.  (p  (a;)  = s (pk  (x)  -f  (l—x)  (p  {x)  = ~ <p  {x)  volgt 
^ > 1 ^ ^ ^ ^ ^ ^ 
Urn.  (f  (x)  = s. 
x—^t 
Bewijs  van  de  hulpstelling-.  Door  de  differentiaalvergelijking  op 
te  lossen  krijgen  we ; 
Vj.  («)  = (1  — •«) 
( 
Daar  Urn.  (pk—\{x)=:s  kan  bij  elk  positief  getal  e een  getal  fjC^l 
berekend  worden,  zoodat  voor 
I ^ _ s |<  a 
(!  — •»)  • —p. ^ dx  = (1— «)  ( — — dx  + (1  — .v)  ( — dx 
J X (1— .r)’  J X (1— a;)’  J x (1  -a;)"* 
•'h-i 
W r 1 rfi  . W- 
= (1-*)  (-7-, +(1— «)  -.dl,  + (1-.»)  
dx 
II 
+ 
III 
