297 
dus  volgens  (22) 
Urn.  i4)f  = s , 
Opmerking  1. 
Het  is  niet  moeilijk  in  te  zien,  dat  de  volgende  stelling  een  on- 
middellijk gevolg  is  van  llieorema  3: 
Theorema  A : De  voorwaarden  Urn.  iE  a„.v’‘=s  en  Iint.n\_A!n'^—A\fl  i]=0 
— ^1  1 )i=‘» 
zijn  elk  noodzakelijk  voor  het  bestaan  van  de  betrekking : Urn.  An’  = .v, 
en  tezamen  zijn  zij  voldoende. 
Inderdaad  volgt  de  noodzakelijkheid  van  de  conditie  lim.  E a.,i'i'^' = .s 
,f’^i  1 
uit  het  hierboven  geciteerde  theorema  van  Höldek,  en  blijkt  de 
noodzakelijkheid  van  de  conditie  lim.7i\An^' — 0 door  deze 
te  schrijven  lim.  — y4n!li]  = 0 en  op  te  merken,  dat  uit 
lim.  = s volgt  lim.  A\^^  = .«?. 
Een  bijzonder  geval  van  dit  theorema  is  bewezen  door  Taubeu  '),  nl. : 
Theorema  B.  De  voorwaardem  lim . E ans;”  = s en 
lim.  — (rüj  2r/j  -j-  . . , . 7iav)  = 0 
Ï7=Z00 
zij7i  beide  7ioodzakelijk  voor  de  C07ive7gentie  van  E a,,,  en  tezamen  zij7i 
zij  voldoe7ide. 
Dit  blijkt  door  p = l te  substitueeren  in  theorema  A,  want; 
aT  = h 
n [Al"  - Ai'\  1 = 41?'  - 4l.'i,  = ^ 
n 1 
1 1 
— T [(«-1)  «n- («1+3,+... -f Sn  l)]  = [s,  -S,)-|-(sn-sJ-f-..  +(Sn-S„_|)] 
a— 1 n — 1 
1 
+ ^8  "f  • • • + ‘B))  + (ffl,  h . . . + (Inl  -f  . . j-  «nj 
1 
+ (”— 2)  a„_i 
= — 7 ^ 
n — I 1 
Bromwich,  op.  cit.,  p.  251. 
