298 
en  tot  de  equivalentie  van  de  voorwaarden  lini.  - (a,  -1-  + ■ • • n'ï»)=0  . 
)7=»  yi 
en  Ibn.  — j [o,  -f-  ‘la„  + . . . {n — :1)  n„]  — 0 voor  theorema  B 
kunnen  we  besluiten  uit  de  vergelijkingefi  : 
U (;»)  =:  X 4-  .r’  j-  . . . ; V (c^-)  = rt,  -f-  « , .r’  d- . . . ; U (.-c)  = a,  j;  -I-  F {x) 
Een  eenigszins  andere  generalisatie  van  theorema  B is  door 
A.  Kiknast  gegeven')-  Kiknast  definieert: 
4 (1)  -V  7 
Sn  — ^ ajc  _ r„  — 2.  k ajc 
1 
= — ^ 
n ;^q-i 
(A) 
rL'+‘’ 
= "sU? 
> k 
en  bewijst  het  volgende  theorema : 
00  ^ , 
Theorema  C.  De  voonoaarden  lim.2anx'^  = s en  lim.  — Vn  ^=0 
))=«>  n 
zijn  elk  noodzakelijk  voor  het  bestaan  van  lini.  Sn^  = s,  en  tezamen  zijn 
ze  voldoende. 
De  middelwaarden  s\i^  verschillen  van  de  middelwaarden  van 
Cksaro  en  Holdek,  doch  in  een  tweede  artikel®)  heeft  Kienast  de 
equivalentie  van  zijn  middelwaarden  en  die  van  Cesako-Hülder  aan- 
getoond. 
Opmerking  2. 
We  hebben  steeds  stilzwijgend  aangenomen,  dat -i"  convergeert 
1 
voor  — 1 .f  1.  Dit  is  echter  voor  ons  doel  overbodig,  daar  uit 
de  voorwaarde  lim.  i]  = 0 de  convergentie  van  2 a.nx” 
voor  \x\  <41  volgt. 
Inderdaad  concludeeren  we  uit  lim.  n\A^n'^ — = 0 tot  de 
r?=oo 
absolute  convergeritie  van  (i<jy{x)  = iE  — A\jlj\x''  voor  j.'rj  O 1. 
')  Proceedings  of  the  Cambridge  Phil.  Soc,,  vol.  19  (1918),  p.  129. 
*)  Proceedings  of  the  Cambridge  Phil.  Soc.,  vol.  20  (1920),  p.  74. 
