473 
Haudy  lieeft  verscliillende  bijzondere  expoiient-ieekseii  onderzocht ') 
met  belmlp  \'an  bijzondere  methoden,  die  niet  kunnen  worden  toe- 
gepast  op  andere  exponent-reeksen,  b.v.  op  de  reeks  van  Fibonacci 
1,  2,  3,  5,  8 , . . 
Het  eenige  algemeene  resultaat,  dat  Hahdy  bereikte  is  het  niet- 
bestaan  van  een  limiet  indien ; 
Pv_l_i  y k.v  .p,  . log.  p, . (2) 
doch  uit  het  boven  geciteerde  \ oorbeeld  van  Hardy,  alwaar  pv  =2, 
volgt  dat  een  limiet  afwezig  kan  zijn,  zonder  dat  aan  de  voor- 
waarde (2)  voldaan  is. 
In  dit  artikel  zal  een  ruimere  voorwaarde  voor  het  niet-bestaan 
van  een  limiet  gegeven  worden  (§  2),  met  behulp  van  een  theorema 
van  Litti.kwood,  dat  in  § 1 besproken  wordt. 
^ 1- 
Litti.ewood  bewees  het  volgende  theorema;  *) 
00 
Theorema  1.  Indien  |na„|<:^/I;,  en  Hm.  ^ = s,  da?!  co?i- 
1 
00 
vergeert  2 a„  tot  s. 
1 
Voor  ons  doel  hebben  we  de  volgende  uitbreiding  noodig,  welke 
eveneens  door  Littlewood  geformuleerd  is:*) 
Theorema  2.  Indien  de  middelwaarde?i  van  de  {k — orde  van 
an  begrensd  zijn,  en  Urn.  2anX''  = s,  dan  is  2 a„  sommeerbaa?' 
van  de  k^*^  orde.  '*) 
Litteewood  merkte  op  dat  theorema  2 op  soortgelijke  wijze  be- 
wezen wordt  als  theorema  1.  Daar  dit  laatste  tiog  al  lang  en 
moeilijk  is,  is  de  opmerking,  dat  theorema  2 een  onmiddellijk  gevolg 
is  van  theorema  i misschien  niet  van  belang  ontbloot. 
Gebruiken  we  de  notatie  van  het  artikel  ,,0ver  een  generalisatie 
van  Tauber’s  theorema  betrejfende  machtreekse??’  ^),  dan  gelden  de 
h Quarterly  Journal,  vol.  38,  p.  269,  1907. 
Proceedings  of  the  London  Mathematical  Society  Ser.  2,  Vol.  9,  p.  434 — 448, 
1911. 
Zie  Proc.  of  the  Lond.  Math.  Soc.,  l.c.,  p.  448. 
Voor  de  definities  van  de  middelwaarden  van  Cesaro-Hölder,  zie  Bromwich, 
op.  cit.,  § 122,  1‘23  en  Landau,  Darstellung  und  Begriindung  einiger  neuerer  Er- 
gebnisse  der  Funktionentheorie,  § 5. 
Verslagen  van  de  Wis-  en  Natuurkundige  Afdeeling  der  Koninklijke  Akadetnie 
van  Wetenschappen,  Deel  XXXII  p.  292. 
31 
Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXXII.  A‘'.  1923. 
