474 
volgende  betrekkingen  tnsschen  de  zoogenaamde  middel  waarden  van 
de  orde  k en  de  functies 
nw=f  O) 
00 
(a)  = 2'  a„  .v’‘  (la) 
1 
+ = • • • . (2) 
= ....  (3) 
Met  behulp  van  (2)  hebben  we  in  genoemd  artikel  béwezeni)dat 
00 
uit  /i?n  . üan.v’^  = s volgt : 
x—^l  1 
lim.  (f  (ic)  = s. 
Indien  nu  bovendien  geldt: 
\n.[£>-A‘£L,]\<c. 
dan  zal  volgens  theorema  1 de  reeks  £ tot  s conver- 
geeren,  d.  w.  z. : 
lim.  = s 
n=co 
of:  2an  is  sommeerbaar  van  de  orde. 
Daar 
.(fc— 1)  , .(*— 1)  , . .i'fc-i) 
^ik)  _ ^1  A2  ^ 
n 
volgt  uit  <^c,  dat  ook  <C  c en  dus  met  behulp  van  (3) : 
I n - 4-i]  I < 2c. 
Hieruit  blijkt  dat  2a„  van  de  orde  sommeerbaar  is,  indien 
voldaan  is  aan  : 
00 
I -4^  I c en  lim.  2 a„  .r"  = s. 
a_>l  1 
We  gebruiken  in  § 2 het  bijzondere  geval  dat  k=l.  Alsdan 
luidt  theorema  2 als  volgt: 
Theorema  3:  Indien  lim.  2 a„x^  = s,  en 
1 
lim.  On  = s,  waarbij  <>„  — 
n=co 
■ H-  -Sn 
n 
|^n|  <C  C, 
dan  geldt 
1)  l.c.  p.  295. 
