475 
§ 2. 
We  bewijzen  nu  het  volgende  theorema 
I J 
Theorema  4.  Indien  i.  <;  /fci  < — — < k^,  en  /t,  j>  1 -)-  —k-. — dan 
^’n  2a;j 
zal  f{x)  — x^o — ....  voor  x-^1  niet  tot  een  limiet  naderen^). 
Beiüijs-.  We  laten  zien  dat  de  coefficientenreeks  van  f{x),  welke 
bestaat  uit  de  termen  1,  {i\ — 1\ — 1)  nullen,  — 1,  {i\ — — 1)  nullen, 
1,  enz...,  niet  sommeei'baar  is  van  de  eerste  orde,  dus  dat  angeen 
limiet  heeft  als  w-^oo  . Het  is  dan  uitgesloten,  dat  ƒ bc)  tot  een  limiet 
zou  naderen  als  x-^\,  want  hieruit  zou  volgens  theorema  3 volgen 
dat  On  voor  n = co  dezelfde  limiet  had  ’). 
We  toonen  aan  dat  On  voor  7i  = co  geen  limiet  heeft,  door  twee 
positieve  getallen  y en  m te  berekenen  met  de  eigenschap; 
P>m 
We  hebben  n.1. : 
+«,  + •••+ 
-j-  (n— 1)  a,  + . . . -f  [n,  — (n  - 1)]  a„ 
__r^p—  Vnp  — n + 1]  + — ^2  + 1]  — • • • + [^2p  — r^p  + 1] 
— 1 4.  n — • • • — ^2p  _ j _ r^p  — r2p-i  + r-2p-2,  — . . . — ri ' 
r-2p  rop 
Hieruit  volgt  met  behulp  'van  1 < k^,  dus  > i\k^ 
en  r„_|.i — rv  > — 1 ) r„ : 
(^1  — 1)  r2p_i  + (^1 — 1)  r2p_3  -f  . . . + (^1  — 1)  ri 
O < \ 
2»  — 
< 1 
r2p 
ki — 1 r2p—\  -j-  r^p—z  • • • + 
h 
r2p- 
h—i  ril  11 
2 4 2 
1 — 
< 1 
^1-1 
^2? 
2 
^ k^ 
1 Hierbij  is  = 1 ondersteld. 
*)  Aan  de  conditie  |Snl  <c  is  door  de  hier  beschouwde  reeksen  steeds  voldaan, 
daar  Sn  i of  0 is. 
31* 
