477 
Opmerking  1. 
r„4-l 
Het  is  natuurlijk  voldoende  dat  de  betrekking  < /t, 
t'n 
pas  geldt  voor  n ^ een  eindig  getal  g,  daar  de  toevoeging  van  een 
eindig  aantal  termen  het  al  of  niet  bestaan  van  een  limiet  niet 
I beïnvloedt. 
I Zoo  heeft  de  functie  x — x x^ — x'^*  “!-•••  voor  x—^1 
1 geen  limiet,  daar  voor  n ^ 5 : 
Opmerking  2. 
j Strikt  genomen  hebben  we  in  ^ 1 theorema  2 slechts  bewezen 
1 voor  het  geval  dat  de  HöLDER-middelwaarden  begrensd  zijn.  Nu  volgt 
I uit  het  bestaan  van  een  ,,Höldersom  van  de  A'^^-orde”  het  bestaan 
! van  een  ,,Cesarósom  van  de  k^'^  orde”,  en  vice-versa  *) ; als  we  dus 
1 bewijzen  dat  de  middelwaarden  van  Cesaró  begrensd  zijn,  indien 
de  middelwaarden  van  Hölder  van  dezelfde  orde  begrensd  zijn,  dan 
is  theorema  2 bewezen  voor  beide  categoriëen  middelwaarden. 
; Nu  geldt  (zie  Landaü  l.c.): 
, . Tu{C;!''^) (1) 
t waarin  de  n^^  middelwaarde  van  Hölder  en  de  n^^  mid- 
I delwaarde  van  Cesaró  voorstelt,  en 
T,  {xk)  = 
p— '1  -j-  X2  k-  • ■ ■ 
1 
+ ■ — ■ 
P 
(2) 
p n 
Uit  (2)  leiden  we  gemakkelijk  af  dat  als  \xi\<:^c  voor  iedere 
ook  I Tjc{xi)  I <]  c voor  iedere  i.  Is  dus  | Cl*’ | <(  c,  dan  volgt  hier- 
uit met  behulp  van  (1)  dat  ook  | \ <(  c. 
b Stelling  van  Knopp-Schnee.  Zie  Landaü,  l.c. 
