I 
Wiskunde.  — Jan  de  Vries:  ,,Een  afbeelding  van  een  tetraedralen 
complex  op  de  puntenruinite” . 
1.  Zij  gegeven  een  bundel  van  qiiadratische  oppervlakken,  die 
een  ruimtekromme  p''  tot  basis  heeft.  De  poolvlakken  van  een  punt 
P t.o.v.  die  oppervlakken  gaan  door  een  rechte  p,  die  de  poollijn 
van  P zal  genoemd  worden.  Door  P gaan  twee  bisecanten  van  9'*; 
de  rechte  p verbindt  de  punten  dier  bisecanten,  welke  door  q*  van 
P harmonisch  worden  gescheiden.  De  pooliijn  wordt  onbepaald  als 
men  P in  den  top  van  een  der  vier  tot  den  bundel  behoorende 
kegels  plaatst;  elke  rechte  van  het  vlak  a)jc=  Oi  0,n  On  kan  dan 
als  poollijn  worden  beschouwd. 
De  stralencomplex  T der  poollijnen  p wordt  afgebeeld  op  de 
puntenruimte  jPj.  De  ribbe  Ok  Oj  wordt  afgebeeld  in  elk  punt  der 
overstaande  ribbe  Om  On-  Zal  een  rechte  r tot  T belmoren,  dan 
moeten  haar  poollijnen  r'  en  r"  t.o.v.  de  oppervlakken  en  van 
den  bundel  elkaar  snijden.  Als  de  i-echte  r een  waaier  doorloopt, 
beschrijven  r'  en  r"  twee  projectieve  waaiers;  de  waaier  (r)  bevat 
dus  twee  sli-alen,  waarvoor  r'  en  r"  elkaar  snijden.  De  complex  T 
is  dus  quadratisch ')  en  heeft  vier  hoofdpunten  Ok  en  vier  hoofd- 
vlakken lojc';  hij  is  derhalve  tetraedraal. 
Een  punt  P van  ()“  is  het  beeld  van  de  rechte  p,  die  q*  in  P 
aanraakt.  Het  raaklijnenregelvlak  van  wordt  dus  afgebeeld  in 
de  punten  van 
2.  Als  P een  rechte  r doorloopt,  beschrijven  de  poolvlakken  van 
P t.o.v.  fd  en  twee  projectieve  bundels  om  de  poollijnen  r'  en 
r”.  De  poollijn  p beschrijft  dus  een  quadratische  regelschaai’  (pf  ; 
de  toegevoegde  regelschaar  bestaat  uit  de  poollijnen  van  r t.o.v.  de 
door  gelegde  quadratische  oppervlakken.  De  snijpunten  van  r 
met  de  hoofdvlakken  tofc  zijn  de  beelden  van  vier  stralen  p,  die 
door  de  hoofdpunten  Ok  gaan.  Blijkbaar  bevat  7^00“  regelscharen  (/?)’. 
Ts  r een  straal  van  T,  dan  snijden  r'  en  r'  elkaar,  zoodat  de 
projectieve  bundels  van  poolvlakken  een  quadratische  kegel  voort- 
b Is  de  bundel  bepaald  door  'Lai,xp  = ()  en  'Lbj^Xid  = Q,  dan  hebben  de  pool- 
4 4 
vlakken  van  het  punt  y tot  coördinaten  en  hpjk-  De  coördinaten  van  p zijn 
dan  P12  = (a^h^ — enz.  Stelt  men  aiad>ibi  + dan  wordt 
T voorgesteld  door  + CimiPziPu  = 0. 
