Wiskunde.  — M.  .).  Bkt, infante:  ,,<her  de  vennenigim Idiying  en 
sommeerbaarheid  van  oneindige  reeksen". 
(Aangeboden  door  de  Heeren  L.  E.  J.  Brouwer  en  Hendrik  de  Vries). 
In  een  vorig  artikel,  getiteld  : ,,Een  generalisatie  van  (ie  stelling 
van  Mertens”  is  het  volgende  theorema  bewezen’): 
Theorema  J . Hei  product  van  een  reeks,  die  samenvoegbaar  is  van 
de  orde  p niet  een  reeks,  die  sommeei'baar  is  van  de  orde  q,  is  som- 
meerbaar  van  de  orde  p + q- 
We  zullen  nu  bewijzen,  dat  deze  stelling  ook  doorgaat,  indien 
p en  q geen  geheele  getallen  zijn  J).  We  merken  verder  op,  dat 
theorema  '1  het  volgende  theorema  van  Rosenbi^att  als  bijzonder 
geval  bevat  “) : 
Theorema  la.  Het  product  van  een  reeks,  die  samenvoegbaar  is 
van  de  orde  p met  een  reeks,  die  .mmenvoegbaar  is  van  de  orde  q, 
is  sommeerbaar  van.  de  orde  p q. 
Ro8ENBI,att  is  tot  zijn  theorema  gekomen  door  het  volgende  theo- 
rema van  Hardy  te  generaliseeren  ”) : 
Theorema  2.  Indien  de  reek<;en  ^(ï„  en  kEb„  convergent  zijn,  en 
aan  de  voorwaarden  \nar,\<jy-,\ubn\<j'^-  voldoen  voor  iedere  n,  dan.  is 
hun  product  eveneens  convergent. 
Er  doet  zich  nu  de  vraag  voor:  is  het  ook  geoorloofd  om  één 
van  de  voorwaarden  \nau\<jy.,\nbn\<jy.  te  laten  vervallen? 
We  zullen  door  een  voorbeeld  laten  zien,  dat  het  antwoord  ont- 
kennend moet  luiden,  en  door  een  ander  voorbeeld  zullen  we  aan 
toonen,  dat  de  voorwaarden  \nan\<jy,\obn\<^y.  te  zamen  met  de 
convei'gentie  van  2ia„  en  2£bn  niet  noodzakelijk  tengevolge  hebben, 
dat  aan  de  voorwaarde  \nCn\<y-' , voldaan  is.  stelt  het  [iroduct 
van  2;a„  en  iEbn  voor). 
b Amst.  Ak.  Verslagen,  dl.  XXXll  (p.  177—189).  Het  artikel  zal  geciteerd 
worden  als:  „Art.  Mert”. 
.2)  Art.  Mert.,  p.  188,  189. 
b Jalirbuch  über  die  Fortschritte  der  Matbematik,  Bd.  44,  p.  284,  1913. 
34 
Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXXll.  A^.  1923. 
