531 
Deze  volgt  uit  Taubeu’s  tlieoreuia  door  op  te  mei-keii  dat  iiidieii 
Ho,;  som  meerbaar  is,  de  t'iiiictie  eeii  limiet  beeft  voor  ,r— ^1. 
(Zie  het  artikel  ,,Een  Generalisatie  van  de  stelling  van  Taubeh  be- 
treffende machtreeksen”  (Verslagen  der  Kon.  Ak.  v.  Wetenscliappen, 
Deel  XXXII.  p.  297). 
Onderstel  nn,  dat  de  reeksen  conveigeeren, 
en  dat  voor  iedere  n en  iedere  i voldaan  is  aan  : 
I nan\  O X. , 
Daar  de  productreeks  zeker  sommeerbaar  is  van  de  orde  k (zelfs 
al  van  lager  orde  als  we  letten  op  theorema  2),  liel)ben  we  slechts 
te  bewijzen  ; 
lini  . — [a  (1’  2, . . • -g  2a, '2. .k)  _|_  _ _ 2.  • • • *)]  m 0 
„~a>n  ” 
of: 
Urn  _ _ / 2,...  _ Q 
0=00  n 
Uit  (1)  volgt  nn  dat  het  voldoende  is  de  beide  volgende  betrek- 
kingen te  bewijzen  -. 
^(1,2,  ..  k] 
lini  — — O (2) 
>1—00  n 
= o (3) 
n~co  ^ 
Bewijs  van  (2). 
Met  behulp  van  inductie  toonen  we  aan,  dat  voor  elke  n geldt: 
waarin  C de  constante  van  Eüler  is.  Immers  we  hebben: 
en  uit 
|^(i,2,...i)|  („_g  (;]* 
leiden  we  af: 
] (l,2,..,M+l)j  I (.•+!)  (1,2,. „O  p+l)  ,(1,2,. . .p  , , b+l'  .dX-OI 
1 = 1 «1  An  -l-«2  . An-l  -f-.-+«n  -Ai  | 
< =<'■  [log  (n  + 1)  + C]'  + l4’+'i  + ...|»!d''0 
<x' 
<C  ^ [.^'^9  (”  + O + 
