532 
[/oö(n-|-l)  + 
Daar  hm. = O,  volgt  hieruit  dat; 
»=»  ^ 
■ lim  . = 0 
!?=«)  n 
Beioijs  van  (3). 
We  bewijzen  dat  aan  de  betiekking  (3)  voldaan  is  voor  k = p, 
indien  het  theorema  3 juist  is  voor  k = p — 1.  Alsdan  volgt  uit  het 
tot  nog  toe  bewezene,  dat  als  het  theorema  juist  is  voor  k = p — 1, 
het  eveneens  juist  is  voor  k — p.  Daar  Hardy  de  geldigheid  voor 
k—^  bewezen  heeft,  is  hiermee  hot  theorema  volledig  bewezen. 
Uit  de  onderstelling,  dat  theorema  3 geldig  is  voor  k=p — 1, 
volgt  dat  Urn  . " 'P—'h  = si^ . si^ . . . si^_^  =s,  indien  de  reeksen 
n=oo 
respectievelijk  convergeeren  tot  si^, 
Immers  bij  definitie  is  • p— d (je  som  van  de  eerste  n 
termen  van  de  productreeks  : 
Nu  geldt: 
a ]P 
Door  m = 1,  2,  . . . w te  substitueeren  en  op  te  tellen,  komt  er; 
Stel  d = .9  -|-  hr,  dan  is  lim  . h„  = 0,  en  ; 
J<“CO 
= s [aiP^  + 202?' -(-  A na„V]  + 
+ [oiV  hn  A 202?^  Ai-i  + ...  + nallP^  hj] 
= P+Q. 
Daar  de  reeks  ahp>  + (h^p)  + • • • convergeert,  volgt  uit  het  theo- 
rema van  Taubek  dat ; 
«1^^  + 202?'  + ...  + no[,V' 
lim  . = O 
v—ao  n 
P 
dus  Ihn.  — = 0. 
