533 
Siibstitneeren  we  de  ongelijkheid  x iii  Q,  (iaii  komt  er; 
I Q|  K . (|/«j I |/(,1  -f-  + l/iüi) 
Daar  Urn.  k„  = (),  geldt  ook  lun.  I — q,  derhalve 
n=oo  n 
Hm.  — = 0. 
n=oo  n 
We  hebben  dns: 
_ P , Q 
Lim  . = lini  . — + Ihn  . - = 0. 
7ï”00  ^ j;r=:::co  ^ jizzzco 
§ 4. 
Definitie  '). 
Indien  de  nitdrnkking 
^ip) 
tot  een  limiet  nadert  als  n 
en  />  beide  onbepaald  toenemen,  doch  zoodanig  dat  lim.  - 0,  dan 
zeggen  roe  dat  de  reeks  nj  n,  . sommeerbaar  is  van  oneindig 
hooge  orde. 
Theorema  5.  Als  een  reeks  sommeerbaar  is  van  een  zekere  eindige 
orde,  dan  is  zij  ook  sommeerbaar  van  oneindig  hooge  orde,  en  wel 
vinden  we  in  beide  gevallen  dezelfde  som. 
Bewijs.  Zij  lim  -.  — j-  = s.  Stel  - ’ - = .9  -J-  h,.,  dan  is  lim  . hn  = 0. 
Ar  Ar 
s'-r  + ..  + S, 
= »[>!'*’ >ir‘'  + AÏ'a'.'^P  + ...  + /l?/!?’-  ‘’j  + 
+ {hiAlt'Ap'"'  + hAfA'HZt'  + .-  4 h.,AfA!r'‘'] 
=>.aT+r. 
Voor  iedere  r tnsschen  1 en  n geldt  nn  ; 
R = [Al  + ...  + A,A!.^^A;fr-+i]  + [^4+1  + • • • + 
= P + Q 
‘)  De  notatie  is  hier  weer  dezelfde  als  in  § 1. 
