535 
dan  is  het  niet  moeilijk  te  bewijzen  dat  deze  i-eeks  mei  som  meer- 
baar zou  zijn  van  oneindig  hooge  orde,  maar  van  eenige  eindige 
orde.  Nu  kan  echter  een  reeks  met  deze  eige^iscluippen  niet  bestaan, 
hetgeen  als  volgt  blijkt: 
Krachtens  een  stelling  van  W.  Gross ')  liggen  de  waarden  van 
U',  (•'»)  = «1  + a,  -f  . . . . 
voor  waarden  vat)  x die  voldoende  dicht  bij  de  eenheid  gelegen  zijn 
tnsschen  nip  en  Mp  in.  Derhalve  volgt  uit  Hm.  nip  = Hm.  Mp  = n, 
dat  Hm.  rpg  (.r)  = [i.  Daar  echter  de  middelwaarden  van  JS'a,,  begrensd 
X — 
zijn,  volgt  hieruit  met  behulp  van  een  theorema  van  IjITTLEwood’), 
dat  teel  sommeerbaar  is  van  eindige  orde. 
Een  reeks  die  sommeerbaar  van  oneindig  hooge  orde  zon  zijn, 
zonder  sommeerbaar  van  eenige  eindige  orde  te  zijn,  zou  dus  b.v. 
middelwaarden  moeten  bezitten,  die  over  een  oneindig  interval 
schommelden. 
Ik  ben  er  niet  in  geslaagd  zoodanige  reeks  te  constrneeren,  en 
evenmin  heb  ik  een  bewijs  kunnen  vinden  dat  zoodanige  reeks  niet 
bestaan  kan. 
b Sitzungsberichte  der  Kaiserl.  Akad.  der  Wissensch.  in  Wien  Abt.  ID  124 
p.  1017—1037;  1915. 
*)  Zie  o.a.  bet  artikel  „Over  machtreeksen  van  den  vorm  — . . .” 
Verslagen  Kon.  Akad.  v.  Wetenscli.  Deel  XXXll  p.  473. 
