H27 
kegelsneden,  die  alle  een  rechte  I tweemaal  en  de  rechten  .• 
éénmaal  snijden. 
Ook  het  omgekeerde  blijkt  gemakkelijk. 
Wanneer  K een  vlak  ti  beschrijft,  gaat  >c  steeds  door  de  pool 
F van  OT. 
Een  vlak  .t  is  de  afbeelding  van  een  stelsel  aS,  van  oo'^  kegelsneden, 
wier  vlak  door  een  punt  P gaat  en  die  a^,  . . a^  snijden.  Omgekeerd 
wordt  een  dergelijk  stelsel  op  een  vlak  afgebeeld. 
Aan  de  kegelsneden  van  die  door  een  bepaald  pnnt  F gaan, 
zijn  de  punten  van  een  vlakke  kromme  kp  toegevoegd,  die  in  het 
poolvlak  n van  F gelegeri  is.  Om  den  graad  van  kp  te  bepalen 
vragen  we  hoeveel  kegelsneden  van  *5',  door  F en  door  een  bepaald 
punt  Q van  a^  gaaji.  De  kegelsneden  door  P en  Q,  die  a,,a^,a^ 
snijden,  vormen  een  oppervlak  van  den  vierden  graad.  Immers  bevat 
een  vlak  door  FQ  de  niet  ontaarde  kegelsnede  van  dit  opper- 
! vlak,  die  door  F,Q  en  de  snijpunten  van  dit  vlak  met  a^,a^,a^ 
\ gaat,  maar  bovendien  de  rechte  FQ,  die  dubbelrechte  van  het  opper- 
1 vlak  is,  omdat  ze  met  de  beide  transversalen  van  FQ,  a^,  a^  en 
I aj  twee  ontaarde  kegelsneden  van  het  oppervlak  vormt.  Daar 
i a,  dit  oppervlak  in  vier  punten  snijdt,  gaan  er  door  een  punt  Q 
I van  vier  kegelsneden  van  het  stelsel  dei'  kegelsjieden,  die 
[ a,,  . . . , aj  snijden  en  door  F gaan.  Hieruit  volgt,  dat  een  vlak  door 
! a'i  de  kromme  kp  buiten  a\  in  vier  punten  snijdt.  Verder  bezit 
I op  a'j  een  dubbelpunt,  dat  loegevoegd  is  aan  de  dubbelkegelsnede 
; van  aSj,  die  in  het  vlak  door  F en  a,  gelegen  is  en  door  F en  de 
I snijpunten  van  dit  vlak  met  a^,  . . , a^  gaat.  De  beide  raaklijnen  aan 
[ kp  in  dit  dubbelpunt  zijn  toegevoegd  aan  de  rechten,  die  F ver- 
binden met  de  beide  punten,  waarin  de  bijbehoorende  dubbelkegel- 
snede a,  snijdt.  De  kromme  kp  is  dus  van  den  zesden  graad.  Deze 
; kromme  snijdt  ook  de  tien  rechten  tjk,  bijv.  de  rechte  in  het 
punt,  dat  behoort  bij  de  ontaarde  kegelsnede,  welke  bestaat  uit 
en  de  transversaal  van  aj  en  die  door  F gaat. 
Het  stelsel  der  kegelsneden  van  aS,,  die  door  een  bepaald  punt  F 
gaan,  wordt  dus  afgebeeld  op  een  vlakke  kromme  van  den  zesden 
graad,  welke  op  a\,  . . .,  a\  dubbelpunten  bezit  en  de  tien  rechten 
t\.^,  ....  , t\^  snijdt. 
Daar  kp  dus  met  een  willekeurig  vlak  zes  punten  gemeen  heeft, 
gaan  van  de  vlakken  der  kegelsneden  van  aS’j  zes  door  een  wille- 
keurig punt. 
Het  stelsel  Sj  gevoi  md  door  de  kegelsneden,  die  een  willekeurige 
rechte  / snijden,  wordt  afgebeeld  op  een  oppervlak  Oi-  De  graad 
van  dit  oppervlak,  dat  is  het  aantal  snijpunten  met  een  willekeuiige 
