636 
en  bij  de  besclirijvenden  van  dezen  lij peikegel  beliooren  resp.  de 
as  a van  C en  de  waaiers  van  dezen  complex,  die  a bevatten.  Een 
rechte  van  K,  die  in  een  vlak  Vp  gelegen  is,  beeldt  een  waaier 
van  C af,  waarvan  de  top  op  a ligt,  terwijl  aan  een  rechte  van 
een  vlak  Vv  een  waaier  van  C toegevoegd  is,  waaiwan  het  vlak 
door  a gaat. 
We  nemen  nu  op  K een  punt  5 en  in  de  vierdimensionale  ruimte 
R^  een  driedimensionale  luimte  aan.  De  in  ^ 1 genoemde  af- 
beelding ontstaat  dan,  als  we  aan  elke  rechte  / de  projectie  L van 
P nit  S op  Zf,  toevoegen,  wanneer  P het  op  K bij  I behoorende 
punt  is'). 
§ 3.  De  rechte  s van  C,  waarvan  S het  op  K gelegen  beeldpunt 
is,  is  voor  de  verwantschap  (/ — L)  een  singuliere  rechte  van  den 
tweeden  rang.  Aan  deze  rechte  zijn  namelijk  in  R^  alle  pujiten  van 
het  vlak  q toegevoegd,  dat  de  in  R^  gelegen  driedimensionale  raak- 
ruimte R van  K in  aS  met  R^  gemeen  heeft. 
Ir»  de  ruimte  R liggen  de  twee  vlakken  en  F ^ van  K,  wier 
snijlijn  de  door  S gaande  beschrijvende  van /il  is.  Bij  deze  vlakken 
beliooren  resp.  de  ster  van  C,  die  haar  top  heeft  in  het  snijpunt 
A van  s en  a,  en  het  veld  van  C,  dat  uit  de  stralen  van  het  vlak 
« bestaat,  dat  door  s en  a gebracht  kan  worden.  De  ster  A en  het 
veld  « hebben  den  waaier  {A,  «)  gemeen,  waaraan  op  K de  rechte 
toegevoegd  is. 
De  vlakken  en  F‘  snijden  q i-esp.  volgens  de  rechten  p,  en 
Vj,  die  beide  uit  voor  de  verwantschap  (/ — L)  singuliere  punten 
bestaan.  Immers  behoort  bij  elk  punt  L van  op  K een  doo’r 
gaande  rechte  uit  FF  dus  in  C een  s bevattende  waaier  met  top 
in  A.  Evenzoo  is  aan  elk  punt  L van  v,  een  waaier  in  « toegevoegd, 
die  s bevat.  Het  snijpunt  van  p,  en  v,  is  beeldpunt  L vooralle 
stralen  I uit  den  waaier  [A,  «)•  Bij  de  oo'  punten  van  pj  beliooren 
zoo  de  oo’  rechten  van  de  ster  A,  bij  de  oo'  punten  van  de  cc' 
stralen  van  het  veld  «. 
Aan  een  waaier  met  top  op  a is  op  K een  rechte  toegevoegd, 
die  in  een  vlak  V,,  ligt,  dus  Fy,  snijdt;  bijgevolg  behoort  bij  zoo’n 
waaier  in  /f,  een  rechte,  die  snijdt.  Omgekeerd  snijdt  het  vlak 
door  S en  een  snijdende  rechte  van  /?,  uit  den  hjperkegel  K 
een  in  F,,,  gelegen  rechte  door  S,  waarbij  de  waaier  van  C behoort, 
die  aan  het  singuliere  snijpunt  der  aangenomen  rechte  met  toe- 
h De  hier  toegepaste  methode  is  voor  de  stralenruimte  aangegeven  door  Felix 
Klein.  Vg.  Mathem.  Annalen,  Bd.  5,  p.  257. 
