640 
^ 6.  Om  aan  te  toonen,  dat  de  in  ^ 5 gevonden  uitkomst  met  het 
in  ^ 1 genoemde  resultaat  van  Schubert  in  overeenstemming  is, 
hebben  we  den  rang  te  kennen  van  de  congruentie  r(7nm',  vim'), 
die  gemeen  is  aan  twee  complexen  C,  en  C,  van  den  graad  vi  en 
vi' . We  zouden  kunnen  volstaan  met  hiervoor  te  vei-wijzen  naar 
Schubert,  Kalklil  der  Ahzahlenden  Geometrie,  waarin  op  p.  330  een 
afleiding  van  dit  getal  voorkomt.  Echter  zullen  we  aantoonen,  dat 
de  rang  van  r ook  met  behulp  van  de  in  deze  mededeeling  ge- 
bruikte afbeelding  gevonden  kan  worden. 
Het  oppervlak  dat  uit  de  rechten  van  F bestaat,  die  de  as 
a van  C snijden,  is  nu  van  den  graad  2 mm'  en  heeft  a tot  vim'- 
voudige  rechte.  Het  is  de  doorsnijding  van  de  twee  congruenties 
.5'j  (m,  vi)  en  -S",  {m',  vi'),  die  uit  de  rechten  van  en  C,  bestaan, 
welke  a snijden. 
en  worden  resp.  op  twee  in  gelegen  oppervlakken 
*S,  en  afgebeeld.  Daar  en  dus  van  een  willekeurigen 
waaier  van  Cm  beschrijvenden  bevat,  zijn  alle  punten  van  pi  en  Vj 
m-voudige  punten  van  aS,  en  hebben  alle  en  u,  snijdende  rechten 
bovendien  nog  m punten  met  gemeen.  Hieruit  volgt,  dat  van 
den  graad  2vi  is  en  dat  p,  en  v;,  ?n-voudige  rechten  van  zijn. 
Evenzoo  is  van  den  graad  2m'  en  zijn  p^  en  m'-voudige 
rechten  van  dit  oppervlak.  De  doorsnede  van  S-^  en  aS,  bestaat  uit 
de  rechten  p^  en  elk  mm'  maal  geteld  en  de  kromme  y,  waarop 
52  afgebeeld  wordt.  Deze  kromme  is  van  den  graad  2mvi'  en  heeft 
mm'  punten  gemeen  met  elk  der  rechten  pj  en  v^.  We  bepalen 
eerst  het  aantal  schijnbare  dubbelpunten  van  y. 
De  kegel  A,  die  y uit  een  willekeurig  punt  L van  projecteert, 
is  van  den  graad  2vivi'  en  heeft  met  aS,  behalve  y nog  een  kromme 
Q gemeen  van  den  graad  Avdvi'  — 2mm' = 2mvi' {2m — 1).  De 
kromme  q heeft  {vi — l)-voudige  punten  in  de  2vivi'  punten,  waar 
y de  rechte  />,  of  snijdt,  omdat  de  totale  doorsnijding  van  A en 
aS,  daar  ??i-voudige  punten  hebben  moet.  Verder  snijdt  A elk  der 
rechten  p,  en  v^  nog  in  vivi^  voor  p voudige  punten.  Daar  al 
deze  punten  voor  aS,  ?7t'-voudig  zijn,  heeft  q ivivi'^  {2vi  — 1)  — 
— 2mm''‘{vi — 1) — 2vdvC  = 2vivC  {2m — i)  snijpunten  met  aS,,  die 
buiten  p,  en  liggen.  Deze  belmoren  tot  y en  vallen  voor  een  deel 
in  de  punten,  waar  een  beschrijvende  van  A het  oppervlak  aSj  op 
y aanraakt,  dus  in  de  buiten  p^  en  liggende  snijpunten  van  het 
eerste  pooloppervlak  van  L t.  o.  v.  met  y.  Daar  dit  pooloppervlak 
van  den  graad  2m — 1 is  en  in  pj  en  v,  (m — l)-voudige  rechten 
bezit,  snijdt  het  y buiten  p,  en  u,  \n2mvi'{2vi — \)—2vivi'{m — lj  = 
= 2m'm'  punten.  De  overige  2mm'"{2m — 1) — 2vdvi'  = 2mvi'  {2vim'  — 
