709 
telkens  als  de  pliaseiibaan  weer  in  de  buurt  \'an  een  bepaald  punt 
P terugkomt,  dat  reeds  vroeger  doorloo|)en  werd,  de  beweging  zich 
ten  naaste  bij  iri  al  haar  trekken  herhaalt  (niet  alleen  q,p\  </,/>. 
maar  ook  q,  p,  enz.j.  Eu  wel  met  des  te  scherper  benadering,  hoe 
dichter  en  dichter  de  phasenbaau  met  toenemenden  lijd  langs  P 
loopt. 
Ons  beroepend  op  dit  ,, quasi- periodieke”  gedrag  forniuleereu  wij 
het  volgende 
„veruweden  u = q”:  ludien  bij  een  (r^-beweging  de  q^  ■ ■ ■ . q^  -, 
p^  ■ . . . p^,  als  functies  van  den  tijd  exact  kunnen  worden  voorgesteld 
door  een  w-voiulige  reeks  van  Fouriek,  dan  is  u — q ■,  zoodat  v ten 
hoogste  gelijk  is  aan  (2.y — 1)  voor  een  quasi-ergodische  beweging. 
Met  andere  woorden:  de  algemeeue  term  vaii  zulk  een  Fourieh- 
ontwikkeling 
cos  ^ iTj  . . . T„  willekeurige  positieve  of  ) 
ZTtirpo,  TijO),,)  ^ 1 . (1) 
sin  I negatieve  geheele  getallen  ) 
bevat  een  aantal  u = o ^ 2s — 1 voor  de  beweging  karakteristieke 
grondfrequeuties  tusscheu  welke  geen  betrekking 
beslaat  van  den  vorm 
/'ito,  = 0 (k\  . . . kn : geheele  getallen)  (2) 
Toelichtinp.  Besidiouw  een  u-dimensionale  (§j  . . . . 5,()-ruimle  en 
daarin  de  rechte 
= cop  = loj  loj  ....  (3) 
Aan  elk  punt  dezer  rechte  (3)  wordt  door  de  FouRiER-reeks  een 
punt  der  phasenbaan  in  het  Gp  van  de  {q,  />)-uitgebreidheid  toe- 
gevoegd. Verdeel  het  «-gebied  in  eenheidskubnssen.  De  rechte  (3) 
doorloopt  een  rij  kubussen.  Vervang  de  stukken  der  rechte  in  de 
verschillende  kubussen  door  homologe'^)  einden  in  een  enkelen  kubus 
Tengevolge  van  het  ontbreken  van  betrekkingen  van  de  soort  (2) 
zullen  deze  — met  elkander  evenwijdige  — einden  dien  kubus 
overal  dicht  opvullen  ’).  Deze  ,,^-baan”  komt  dus  zoo  dicht  als  men 
wil  bij  alle  punten  van  een  ?<-dimensionalen  kubus,  terwijl  de  phasen- 
baan zelf  zoo  dicht  als  men  wil  bij  alle  punten  van  het  p-dimen- 
sionale  gebied  Gp  komt.  Men  moet  nu  de  correspondentie  van  deze 
twee  gebieden  nader  beschouwen  en  daarbij  in  aanmerking  nemen 
b Optelling  of  aftrekking  van  geheele  getallen  bij  de  grootheden  (3)  laat  alle 
termen  (1)  in  de  Fourier-ontwikkeling  onveranderd. 
Vgl.  b V.  O.  Perron,  Irrationalzahlen.  Leipzig  1921,  p.  156,  „Inliomogene 
diophantische  Approximationen”  en  litteratuuropgaven  daarbij. 
