Wiskunde.  — L.  E.  J.  Bkouwer:  ,Jntuitionistische  splitsing  van 
mathematische  grondbegrippen' . 
^ 1.  Juistheidspraedicaten. 
De  iiituitionistisclie  opvatting  der  wiskunde  verwerpt  niet  alleen 
het  principinm  tertii  exelusi  in  zijti  geheel,  docli  ook  het  t)ijzondei'e 
geval  daarvan,  dat  in  het  beginsel  der  reciprociteit  der  coin[)lemeti- 
taii'soorten  gelegen  is,  d.  w.  z.  in  het  beginsel,  dat  voor  een  wille- 
keurig wiskundig  systeem  uit  de  ongerijmdheid  der  oiigerijnidheid 
[ eener  eigenschap  tot  de  juistheid  dezer  eigenschap  concludeert. 
Deze  verwerping  kan  dooi'  het  volgende  voorbeeld  worden  aan- 
} neraelijk  gemaakt:  Zij  ^/v  het  cijfer  achter  de  komma  van  de 
decimale  ontwikkeling  van  n en  yn  = /f,,  als  in  de  voortschrijdende 
decimale  ontwikkeling  van  n bij  c/,,,  voor  de  eerste  maal  het  ver- 
schijnsel optreedt,  dat  het  gedeelte  c/,,,  . . . (/„i-pg  dezer  decimale 
ontwikkeling  een  sequentie  0123456789  vormt.  Zij  verder  c„  = 
als 
en  anders  c„  = 
dan  convergeert  de  reeks  c,,c,,(’,,... 
tot  een  reëel  getal  r. 
Noemen  we  nu  een  reëel  getal  g rationaal,  als  men  twee  geheele 
j rationale  getallen  p q kan  berekenen,  wier  quotiënt  gelijk  is 
1 aan  g,  dan  is  r niet  rationaal,  doch  anderzijds  kan  de  rationaliteit 
I van  r onmogelijk  ongerijmd  zijn;  immers  in  dat  geval  zon  on- 
i mogelijk  kunnen  bestaan,  waaruit  zou  volgen  r = 0,  dus  r rationaal. 
j Zeggen  we  verder,  dat  een  reëel  getal  g met  0 vergelijkbaar  is, 
als  hetzij  .q  > 0 hetzij  ^ < 0 geldt,  dan  is  r niet  met  0 vergelijk- 
baar, doch  anderzijds  kan  de  vergelijkbaarheid  van  r met  0 onmo- 
gelijk ongerijmd  zijn;  immers  dan  zou  in  het  bijzonder  ^ 0 onge- 
rijmd zijn,  waaruit  zou  volgen  r < 0,  dus  r met  0 vergelijkbaar. 
De  klassieke  opvatting  postuleert  voor  iedei-e  eigenschap  het  altei’- 
natief  van  juistheid  of  ongerijmdheid,  en  derhalve  de  aequivalentie 
van  juistheid  en  ongerijmdheid  van  ongerijmdheid.  Voor  deintuitio- 
nistische  opvatting  is  ongerijmdheid  van  ongerijmdheid  weliswaar 
een  gevolg  van  juistheid,  doch  niet  met  juistheid  aequivalent,  terwijl 
het  alternatief  van  ongerijmdheid  of  ongerijmdheid  van  ongerijmd- 
heid evenmin  wordt  erkend  als  dat  van  juistheid  of  ongerijtndheid. 
Een  sequentie  van  yi  ongerijmdlieidspraedicaten : ,, ongerijmdheid 
van  ongerijmdheid  van....  van  ongerijmdheid”  kan  volgens  de 
klassieke  opvatting  door  herhaalde  schrapping  telkens  van  twee  op 
