883 
niet  voor  iedere  keus  van  q en  q'  een  scheidende  verzameling;  .t, 
bestaat,  die  een  geringeren  algemeenen  dimensiegraad,  dan  n — 1 
bezit.  Verder  zal  met  de  uitdrukking:  ...-r  bezit  deji  algemeeiien 
dimensiegraad  nul,  resp.  een  oneindigen  algemeenen  dimensiegraad” 
worden  bedoeld,  dat  geen  continuüm  als  deel  bevat,  resp  dat 
bij  n nöcb  bet  getal  nul,  nöcb  eenig  natuurlijk  getal  als  algemeene 
dimensiegraad  kan  worden  gevonden'’). 
Aan  deze  definitie  kan  gemakkelijk  een  van  de  recurrentie  onaf- 
hankelijke vorm  worden  gegeven.  Daartoe  denken  wij  ons,  dat  de 
verzameling  jr  door  twee  personen  A en  B aan  de  ,,dimensieoperatie” 
wordt  onderworpen,  waaronder  wij  bet  volgende  verstaan : A kiest 
in  Jt  naar  willekeur  twee  binnen  jr  afgesloten  deelverzamelingen 
Q en  q',  waarop  B q en  q'  in  rr  scheidt  door  middel  van  een 
binnen  n afgesloten  verzameling  jTj.  Vervolgens  kiest  A in 
naar  willekeur  twee  binnen  .-Ti  afgesloten  deelverzamelingen  p,  en 
q\,  waarop  B p,  en  p',  in  n-,  scheidt  door  middel  van  een 
binnen  rr,  afgesloten  verzameling  .r,.  Dit  proces  wordt  onbeperkt 
herhaald,  totdat  eventueel  een  verzameling  jt/,  optreedt,  die  geen 
continuüm  meer  als  deel  bevat.  Indien  eenerzijds  B onafhankelijk 
van  de  keuzen  der  p„  en  p'.,  er  voor  kan  zorgen,  dat  een  verzame- 
ling jth  met  een  h<n  optreedt,  en  andeizijds  A onafhankelijk  van 
de  keuzen  der  er  voor  kan  zorgen,  dat  gee7i  verzameling  jth 
met  een  h <^n  optreedt,  dan  zullen  we  zeggen,  dat  ar  den  alge- 
meenen dimeixsiegraad  n bezit.  Indien  daarentegen  geen  natuurlijk 
getal  n bestaat  met  de  eigenschap,  dat  B onafhankelijk  van  de 
keuzen  der  q„  en  p'„  er  voor  kan  zorgen,  dat  een  verzameling  nh 
met  een  4<n  optreedt,  dan  zullen  we  zeggen,  dat  n eexi  oneindigen 
algemeenen  dimensiegraad  bezit. 
Wanneer  bij  een  punt  P van  -t  omgevingen  met  den  algemeenen 
dimensiegraad  m,  doch  geen  omgevingen  met  een  kleineren  alge- 
meenen dimensiegraad  bestaan,  zullen  we  zeggen,  dat  n-  in  P den 
dimen.negraad  m bezit.  In  verschillende  punten  kan  een  verzameling 
verschillende  dimensiegraden  bezitten ; doch  geen  van  deze  kan  den 
algemeenen  dimensiegraad  der  verzameling  overtreffen.  Indien  in 
ieder  punt  der  verzameling  de  dimensiegraad  gelijk  is  aan  den  alge- 
meenen dimensiegraad  der  verzameling,  zullen  we  zeggen,  dat  de 
verzameling  een  homogenen  dimensiegraad  bezit. 
Dat  met  de  bovenstaande  definities  het  door  Poincarè  verlangde 
natuurlijke  diraensiebegrip  is  verkregen,  blijkt  uit  de  volgende 
1*)  Volgens  deze  definitie  wordt  zoowel  voor  de  R(a  van  Hilbert,  als  voor  die 
van  Fréchet  een  oneindige  algemeene  dimensiegraad  gevonden. 
