b84 
Dimensiestelllng.  Een  n- dimensionale  ruimte  hezit  den  homogenen 
dimensiegraad  n.  '*) 
Om  deze  stelling  te  bewijzen,  laten  we  in  de  eerste  plaats  zien, 
dat  bij  de  dimensieoperatie  B er  voor  kan  zorgen,  dat  li<n.  Daar- 
toe construeert  B,  nadat  A de  verzamelingen  q en  q heeft  bepaald, 
een  sirnpliciale  verdeeling ’'*)  S van  zt,  en  wel  op  zoodanige  wijze, 
dat,  als  we  onder  een  resp.  een  grondsimplex  van  g verstaan, 
dat  in  zijn  binnenste  of  op  zijn  grens  punten  van  q resp.  q'  bevat, 
het  niet  voorkomt,  dat  een  „Sp  en  een  „.y  samenvallen  of  aan  elkaar 
grenzen.  Dan  vormen  de  {n — l)-dimensionale  zijden  der  voor- 
zoover  ze  nöch  in  hun  binnenste  nöch  op  hun  grens  punten  van  q 
bevatten,  een  systeem  van  tweezijdige  (w — l)-dimensionale  psendo- 
ruimten  “),  waarin  overigens  meerdere  elementen  of  elementzijden 
kunnen  samenvallen.  De  door  deze  pseudoruimten  gevormde  punt- 
verzameling  kiest  B als  jTj.  Zoo  A daarop  de  verzamelingen  q^  en 
9'i  in  hetzelfde  deelcontinnum  van  jTj  kiest,  construeert  B een  zoo- 
danige sirnpliciale  verdeeling  van  -Tj,  waarbij  het  niet  voorkomt, 
dat  een  „j.y  en  een  samenvallen  of  aan  elkaar  grenzen.  Dan 
vormen  de  {n — 2)-dimensionale  zijden  der  , voorzoover  ze  nöch 
in  hun  binnenste  nöch  op  hun  grens  punten  van  bevatten,  een 
systeem  van  tweezijdige  (?i — 2)-dimensionale  pseudoruimten,  waarin 
overigens  weer  meerdere  elementen  of  elementzijden  kunnen  samen- 
vallen. De  door  deze  pseudoruimten  gevormde  puntverzameling  kiest 
B als  n-,.  Op  deze  wijze  voortgaande,  komt  B ten  slotte  tot  een 
verzameling  jr„,  die  geen  continuüm  meer  als  deel  bevat,  tenzij  het 
proces  reeds  eerder  daardoor  mocht  afloopen,  dat  A eens  ov  en  q\ 
niet  in  hetzelfde  deelcontinnum  van  -t.,  kiest. 
In  de  tweede  plaats  toonen  we  aan,  dat  bij  de  dimensieoperatie 
A er  voor  kan  zorgen,  dat  h niet  kleiner  dan  n uit  valt.  Daartoe 
kiest  A in  jt  van  een  n-dimensionaal  element  E,  . . . E„^i  het 
punt  E^  als  q en  de  {71 — l)-dimensionale  zijde  E^  . . . En-\-i  als  q' ; 
het  tot  de  elementzijde  E^  E,  resp.  E^  E^  . . . En^\  behoorende  deel 
van  .T,  als  9,  resp.  q\ ; het  tot  de  elementzijde  E^  E^  E^  resp. 
E^  E^  E^  . . . En+i  behoorende  deel  van  jr,  als  p,  resp.  q\  ; enzoovoort. 
Om  te  bewijzen,  dat  geen  der  puntverzamelingen  jr^,  :t,,  . . . jr,j  kan 
wegvallen,  stellen  we  het  uitgangselement  E^  E^  . . . E^j^i  voor  door 
t;  de  grens  van  het  door  in  t bepaalde,  aan  het  punt  E^  gren- 
zende gebied  g door  Tj  ; de  grens  van  de  door  jt,  in  Tj  bepaalde, 
Daar  de  dimensiegraad  blijkbaar  een  invariant  der  analysis  situs  is,  impliceert 
de  dimensiestelling  de  invariantie  van  het  dimensie-aantal. 
!'*•)  Math.  Annalen  71,  p.  101. 
16)  1.  c.  p.  305. 
