885 
aan  de  ribbe  grenzende  gebiedsverzaïneling '*)  door  t,  ; de 
grens  van  de  door  .-r,  in  r,  bepaalde,  aan  de  tweedimensionale  zijde 
El  E,  E^  grenzende  gebiedsverzameling  g^  door  t,  ; enzoovoort.  We 
construeeren  nu  in  t een  simpliciale  verdeeling  met  de  diclitlieid  e 
stellen  het  w-dimensionale  fragmetJt  **),  dat  door  de  iticlusief  hun 
grens  tot  g behoorende  grondsimplexen  wordt  gevormd,  voor  door  y ; 
het  binnen  r gelegen  deel  der  ingevolge  het  voorgaande  eveneens 
simpliciaal  verdeelde  grens  van  y door  rr, ; het  maximum  der  af- 
standen, die  de  punten  van  rj,  van  t,  bezitten,  door  e, ; het  (7t — 1)- 
dimensionale  fragment,  dat  door  de  grondsimplexen  van  voor- 
zoover  ze  een  afstand  <f,  van  g^  bezitten,  wordt  gevormd,  door  y, ; 
het  binnen  o,  gelegen  deel  der  giens  van  yj  door  o,;  het  maximum 
der  afstanden,  die  de  punten  van  o,  van  t,  bezitten,  door  e, ; enzoo- 
voort. Dan  convergeeren  fj,  f,,  • . . fn  met  s tot  nul,  zoodat  het  eventueele 
bestaan  van  o,,  ff,,  ...  (T„  dat  van  Tj,  t,,  . . . t„,  derhalve  ook  dat  van 
jr,,  . . . jr„,  waarin  immers  achtereenvolgens  ...t,,  als  deel- 
verzamelingen bevat  zijn,  zal  moeten  tengevolge  hebben. 
Hiermede  is  de  dimensiestelling  teruggebracht  tot  de  volgende 
Hulpstelling.  Zij  a een  .simpliciaal  verdeeld  n-dimensmiaal 
element  met  de  hoekpunten  E^,  E^,  . . . E„^t;  y een  uit  grondsimplexen 
van  ff  gevormd  fragment,  dat  alle  aan  E^,  doch  geen  aaii  E^...En^i 
grenzend  grondsimplex  van  ff  bevat-,  ff,  het  binnen  ff  liggende  deel 
der  grens  van  y;  y,  een  uit  grondsimplexen  van  gevormd  fragment, 
dat  alle  aan  E^  E^,  doch  geen  aan  E^  £",...  EnJ^i  grenzend  grond- 
simplex van  ff,  bevat;  ff,  het  binnen  ff,  liggende  deel  der  grens  van 
y, ; y,  een  uit  grondsimplexen  van  ff,  gevormd  fragment,  dat  alle 
aan  Ë^,  doch  geen  aan  E^E^E^. . . grenzend  grondsimplex 
van  ff,  bevat ; ff,  het  binnen  ff,  liggende  deel  der  grens  va7i  y, ; enzoo- 
voort. Dan  kan  geen  der  puntverzamelmg en  o^,o^, . . . Onivegvallen. 
Deze  hulpstelling,  waartoe  Lebesgüe  in  Math.  Annalen  70  de 
invariantie  van  het  dimensie-aantal  heeft  teruggebracht,  waarvan  het 
aldaar  gegeven  bewijs  echter  een  essentieele  lacune  vertoont^®),  is 
1®)  Onder  een  in  r,^  gelegen  gebiedsverzameling  verstaan  we  een  in  gelegen 
puntverzameling,  waarvan  geen  punt  grenspunt  der  door  haar  in  bepaalde 
coniplementairverzameliiig  is. 
17)  Math.  Annalen  71,  p.  101. 
1®)  l.c.  p.  306. 
1®)  De  „faits  bien  évidents”,  waarop  dit  bewijs  zich  (op  p.  167)  beroept,  zijn  n.1.  onjuist, 
en  vormen,  als  ze  in  een  juislen  vorm  worden  gebracht,  een  eigenschap,  die  moei- 
lijker  bewijsbaar  is,  dan  de  hulpstelling  zelf.  Na  (in  1011)  op  deze  vergissing  te 
zijn  gewezen,  deelde  de  Heer  Lebesgüe  mij  zijn  voornemen  mede,  binnenkort  in 
het  Buil.  de  la  Soc.  Math.  de  France  een  nieuw  bewijs  der  hulpstelling  te  zullen 
geven,  daarbij  tevens  de  hoofdtrekken  van  dit  nieuwe  bewijs  uiteenzettende.  Ofschoon 
