Wiskunde.  — J.  Wolff:  „Over  een  meetbaarheidsstelling  van 
Carathéodory”. 
(Aangeboden  door  de  Heeren  Hendrik  de  Vries  en  W.  Kapteun). 
1.  In  een  ruimte  van  een  willekeurig  aantal  afmetingen  denken 
we  ons  een  rechthoekig  coördinatenstelsel.  Twee  punten  P en  Q 
noemen  we  congruent,  als  de  vector  •■«■l'onale  componenten  heeft. 
De  met  den  oorsprong  0 congruente  punten  zijn  de  rationale  punten. 
2.  Een  puntverzanieling  E zonder  congruent  puntenpaar  is  on- 
meetbaar of  van  de  maat  nid. 
Zonder  de  algemeenheid  te  schaden  onderstellen  we  E begi’ensd. 
Wij  onderstellen  de  uitwendige  maat  ii*E  van  E positief  en  zullen 
aantoonen  dat  de  inwendige  maat  n^E  nul  is. 
Zij  Rj de  verzameling  der  rationale  punten 
wier  afstanden  tot  O kleiner  dan  1 zijn.  De  vectoren  OR,,  noemen 
we  p„.  De  verzameling  die  uit  E ontstaat  door  de  translatie  p,,  noe- 
men we  En.  In  het  bijzonder  is  E„  = E.  De  En  hebben  gelijke 
inwendige  maat  n^E  en  gelijke  uitwendige  maat  fPE.  Als  ni  -f-  n 
is,  dan  hebben  E,,,  en  En  geen  punt  gemeen.  Want  een  gemeen- 
schappelijk punt  P zou  zoowel  door  de  translatie  - — als  door  de 
translatie  — in  E komen,  en  deze  beide  punten  van  E moeten 
samenvallen,  daar  geen  congruent  [laar  bevat ; dus  = p„,  = n. 
Wij  beschouwen  de  verzameling 
5 = £■„  -f  -l"  . . . . 
*S  is  begrensd,  dus 
(1) 
Daar  de  E,,  twee  aan  twee  geen  punten  gemeen  hebben,  is 
00 
^ 2 g^En (2) 
n=0 
Daar  iedere  g^En  = g^E  is,  volgt  uit  (1)  en  (2): 
g^E=0. 
3.  Op  dezelfde  manier  wordt  het  volgende  bewezen: 
• Men  kieze  een  ivillekeurige  aftelbaar  oneindige  begrensde  puntver- 
zameling  (^„).  Iedere  meetbare  verzameling  met  positieve  maat  bezit 
een  puntenpaar  welks  verbinding. wector  gelijk  is  aan  een  vector  A^An- 
