892 
4.  Zij  E een  meetbare  puntverzameling,  waarvan  de  maat 
Aan  ieder  punt  P van  E voegen  we  toe  de  verzameling  der  met 
P congruente  (zie  1)  punten  van  E.  In  iedere  van  deze  verzame- 
lingen kiezen  wij  een  punt.  De  verzameling  der  gekozen  punten 
is  onmeetbaar. 
Zonder  de  algemeenheid  te  schaden  denken  we  den  diameter  van 
E kleiner  dan  1.  Uit  E^  leiden  we  door  de  in  § 2 genoemde  trans- 
laties de  verzamelingen  En  af.  Deze  En  hebben  twee  aan  twee 
geen  punt  gemeen.  Stellen  we  weer 
+ + , 
dan  is  aS  begrensd,  zoodat  we  evenals  in  § 2 krijgen 
l^^E,  = 0 • (3) 
S bevat  E,  want  ieder  punt  van  E is  congruent  met  een  punt 
van  E„  en  heeft  daarvan  een  afstand  <[  1. 
Dus 
CO 
!i*E^(i*S<:s  (X*En (4) 
)i=:0 
Daar  en  iedere  (x*En  = p*E„,  zoo  volgt 
> 0 (5) 
Uit  (3)  en  (5)  volgt  de  onmeetbaarheid  van  E^,  en  hiermede 
hebben  we  het  door  Carathèodory ‘)  gegeven  bewijs  van  de  stelling, 
dat  iedere  meetbare  verzameling  met  positieve  maat  onmeetbare 
deelen  heeft,  vereenvoudigd. 
Utrecht,  1 November  1923. 
b G.  Carathéodory,  Vorlesungen  über  reelle  Funktionen,  1918,  p.  349  e.v. 
