Wiskunde.  — G.  Sohaake:  ,,  Bepaling  van  het  hilineaire  stelsel  van 
cx*  lijnelenienten  der  ruimte.” 
(Aangeboden  door  de  Heeren  Hendrik  de  Vries  en  Jan  de  Vries). 
^ 1.  Een  stelsel  aS,  van  oo*  lijnelenienten  {P,  l)  der  ruimte,  die 
elk  uit  een  rechte  I en  een  daarop  gelegen  punt  F bestaan,  bezit 
drie  karakteristieke  getallen  q\  en  x-  Hiervan  is  q de  giaad  van 
den  complex  der  rechten  / van  aSj,  het  aantal  lijnelementen  van 
5,,  waarvoor  P in  een  bepaald  pnnt  valt  en  / graad  van  de 
kromme  der  punten  P van  de  lijnelementen  van  aS\,  wier  rechte  I 
in  een  gegeven  vlak  ligt. 
Voor  een  bilineair  stelsel  aS,  zijn  de  getallen  q en  if?  beide  één. 
In  dit  geval  vormen  de  rechten  I van  aS,  dns  een  lineairen  complex 
C.  Elk  vlak  n bevat  dus  een  waaier  {A,  «)  van  rechten  I van  aS,, 
die  het  punt  A van  « tot  top  heeft.  Tot  dezen  waaier,  die  tevens 
alle  door  A gaande  rechten  van  aS,  bevat,  behoort  ook  de  rechte  /, 
waarvoor  P \n  A valt.  Laten  we  / den  waaier  (H,«)  doorloopen, 
dan  beschrijft  P een  kromme,  die  met  elke  beschrijvende  van  {A,  «) 
buiten  A één  pnnt  gemeen  heeft,  maar  bovendien  door  A gaat  en 
daar  aan  de  bij  A behoorende  rechte  I raakt,  dus  een  door  H gaande 
kegelsnede  ké.  Het  derde  karakteristieke  getal  van  aS,  is  bijgevolg 
twee. 
Wij  zullen  nu,  aannemende,  dat  een  stelsel  aS,  (1,1,2)  bestaat, 
de  eigenschappen  daarvan  atleiden  en  daarna  aangeven,  hoe  men 
met  behulp  van  de  gevonden  eigenschappen  elk  dergelijk  stelsel 
kan  construeeren. 
^ 2.  Wanneer  P een  willekeurige  rechte  v doorloopt,  beschiljft 
de  rechte  I een  regeloppervlak,  waarvan  r een  enkelvoudige  richt- 
lijn is.  Daar  de  lijnelementen  van  aS,,  die  in  een  vlak  door  liggen, 
een  kegelsnede  van  punten  P bezitten,  zijn  er  in  dit  vlak  twee 
exemplaren  van  aS,,  wier  punt  P tot  ?■  behoort,  en  bevat  een  dergelijk 
vlak  behalve  r twee  beschrijvenden  van  het  bij  r behoorende  regelopper- 
vlak, dat  dus  van  den  derden  graad  is.  Dit  oppervlak  p’  heeft  de 
aan  r t.o.v.  C toegevoegde  rechte  r'  tot  tweevoudige  richtlijn. 
Bij  een  rechte  van  punten  P behoort  in  een  kubisch  oppervlak 
van  rechten  l. 
