894 
De  lijnelemenleii  van  <S,,  wier  punten  P in  een  vlak  V liggen, 
hebben  een  congruentie  van  rechten  /.  Daar  de  exemplaren  van 
St,  wier  rechten  I door  een  gegeven  punt  gaan,  een  kegelsnede  van 
punten  P bezitten,  komen  er  onder  deze  lijnelementen  twee  voor, 
wiei'  punt  P in  V ligt  en  is  de  stergraad  van  •P  twee.  Evenzoo 
blijkt,  dat  de  veldgraad  van  0 tioee  is. 
Bij  een  vlak  van  punten  P bekoort  in  dus  een  congruentie  (2,  2) 
van  rechten  l. 
De  gemeenschappelijke  rechten  van  twee  congruenties  0,  en  0, 
van  recliten  /,  die  resp.  bij  de  vlakken  en  F,  behooren,  vormen 
een  regeloppervlak  (0,,  van  den  achtsten  graad.  Immers  vormen 
de  rechten  van  0j  en  0,,  die  een  willekeurige  rechte  r snijden, 
resp.  twee  vierdegraadsoppervlakken  waarvoor  de  rechten 
r en  r'  tweevoudige  richtlijnen  zijn  en  die,  daar  r en  r'  elk  vier- 
maal onder  de  doorsnijding  meetellen,  acht  beschrijvenden  gemeen 
hebben.  ('0,,  0,)  bestaat  uit  het  regeloppervlak  (>*,  dat  aan  de  rechte 
(Fi,  F,)  toegevoegd  is  en  uit  een  regeloppervlak  van  den  vijfden 
graad  q\  dat  uit  singuliere  rechten  van  bestaat,  daar  bij  een  be- 
schrijvende I van  twee  verschillende  punten  P dus  oneindig  veel 
punten  P behooi’en. 
De  .nngidiere  rechten  I van  *S,  vormen  een  vijfdegraadsregelopper- 
vlak  q’’.  Elke  dezer  rechten  geeft  met  elk  harer  punten  een  lijn- 
element van  *S,. 
Daar  een  willekeurig  vlak  met  elke  singuliere  rechte  een  punt 
gemeen  heeft,  gaan  alle  congruenties  0 door 
Bij  de  vijf  punten  P,  waarin  een  willekeurige  rechte  r het  opper- 
vlak snijdt,  behooren  als  rechten  I de  vijf  door  deze  punten 
gaande  beschrijvenden  van  (>\  Hieruit  volgt: 
Elk  oppervlak  q*  heeft  vijf  beschrijvenden  met  gemeen. 
Dit  laatste  kan  ook  als  volgt  afgeleid  worden.  Een  willekeurig 
regeloppervlak  van  den  derden  graad  cp*,  dat  uit  rechten  van  C 
bestaat,  heeft  met  een  congruentie  0 zes  rechten  gemeen.  Immers 
splitst  zich  van  de  doorsnijding  van  (p*  met  het  oppervlak  (p*,  dat 
uit  alle  rechten  van  0 beslaat,  die  de  richtlijnen  r en  r'  van  (p* 
snijden,  de  rechte  r tweemaal  en  de  rechte  r'  viermaal  af.  De 
punten  P,  die  toegevoegd  zijn  aan  een  willekeurig  regeloppervlak 
ip*,  dat  uit  rechten  van  C bestaat,  vormen  dus  een  kromme  van 
den  zesden  graad.  Een  oppervlak  q*,  dat  aan  een  rechte  r toege- 
voegd is,  moet  dus  vijf  singuliere  rechten  van  aS,  bevatten. 
Evetizoo  volgt  uit  de  omstandigheid,  dat  een  willekeurige  con- 
gruentie (2,2)  van  rechten  van  C met  een  q*  zes  rechten  gemeen 
heeft,  dat  elke  congruentie  0 door  gaat. 
