895 
^ 3.  De  stralen  I van  C,  die  twee  willekeurige  rechten  i\  en  r, 
snijden,  vormen  een  regelschaar  A’.  Bij  deze  behoort  een  kromme 
van  punten  P,  die  elke  beschrijvende  van  P éénmaal  nl.  in  het 
aan  haar  toegevoegde  punt  snijdt.  De  drie  rechten  I van  het  bij  r, 
behoorende  oppervlak  welke  r,  snijden,  zijn  de  beschiijvenden 
van  A’,  wier  punten  P op  r,  vallen.  De  aan  A’ toegevoegde  kromme 
heeft  dus  met  een  willekeurig  vlak  door  )\  vier  punten  gemeen. 
Bij  een  regelschaar  van  rechten  I van  C behoort  in  Sjeen  rationale 
vierdegraadskronnne  k*  van  punten  P. 
Aan  de  rechten  /,  welke  een  willekeurige  rechte  r snijden  en  dus 
een  bilineaire  congruentie  met  richtlijnen  r en  r'  vormen,  zijn  de 
punten  P van  een  oppervlak  toegevoegd.  Dit  oppervlak  gaat  door 
r,  omdat  elk  punt  van  r het  punt  P van  een  rechte  / is  en  ook 
door  r' , omdat  de  rechte  l,  die  bij  een  punt  van  r'  behoort,  steeds 
r snijdt.  Bovendien  snijdt  dit  oppervlak  elke  op  r en  dus  op  r' 
rustende  rechte  / buiten  r en  )•'  in  het  aan  I toegevoegde  punt  P, 
zoodat  het  van  den  derden  graad  is. 
Bij  een  bilineaire  congruentie  van  C behoort  dus  een  kubisch  opper- 
vlak SP. 
Aan  de  regelschaar,  die  twee  bilineaire  congruenties  van  C ge- 
meen hebben,  is  een  k*  toegevoegd,  die  gelegen  is  op  de  beide  bij 
genoemde  congruenties  behoorende  oppervlakken  Deze  opper- 
vlakken hebben  nog  een  kromme  P gemeen,  die  uit  voor  S,  singu- 
liere punten  bestaat.  De  bij  een  punt  van  P behoorende  rechten  / 
vormen  den  waaier  van  rechten  van  C,  die  door  dit  punt  gaan. 
Er  is  een  vijfdegraadskromme  k^  van  voor  singuliere  punten. 
Bij  elk  der  punten  van  ld  behoort  een  roaaier  van  rechten  l.  De  aan 
deze  singuliere  punten  toegevoegde  rechten  I vormen  een  congruentie 
K (5,5). 
Daar  door  ieder  punt  van  D een  rechte  van  een  willekeurige 
bilineaire  congruentie  van  C gaat,  is  P op  alle  oppervlakken  52* 
gelegen. 
Een  singuliere  rechte  /,  dat  is  dus  een  beschrijvende  van  p*,  kan 
een  willekeurig  oppervlak  52*  niet  in  een  voor  5,  niet  singulier 
punt  snijden,  daar  de  aan  dit  punt  in  toegevoegde  rechte,  dat  is 
/,  de  bij  52’  behoorende  rechte  r niet  snijdt.  Iedere  singuliere  rechte 
heeft  dus  drie  punten  met  E gemeen.  Dit  volgt  ook  hieruit,  dat 
blijkens  ^ 2 de  rechten  l,  die  aan  punten  P van  een  singuliere 
rechte  toegevoegd  zijn,  een  knbisch  regeloppervlak  (>*  vormen,  dat 
uit  drie  waaiers  moet  samengesteld  zijn,  zoodat  elke  singuliere 
rechte  drie  singuliere  punten  bevat. 
Omgekeerd  moet  elke  rechte  t,  die  P driemaal  snijdt,  een  voor 
