897 
k'  te  construeeren,  die  k''  vijfmaal  snijdt.  Deze  kegelsnede  moet  / 
dan  behalve  in  den  top  A van  den  in  u gelegen  waaier  van  C in 
het  bij  I behoorende  punt  P snijden.  Hieruit  volgt; 
De  kegelsneden  k',  die  k^  vijfmaal  snijden  en  een  rechte  van  C 
iiveeniaal  trejfen,  gaan  alle  door  het  aan  deze  rechte  I toegevoegde 
'punt  P. 
^ 4.  We  zullen  nu,  uitgaande  van  een  ruimtekromme  van  den 
vijfden  graad  en  van  bet  geslacht  één,  k’‘,  een  stelsel  construeeren, 
dat  de  eigenschappen  heeft  van  het  systeem,  waarvan  we  tot  nu 
toe  het  bestaan  onderstelden,  en  waarvoor  k^  de  m.p.  der  singuliere 
punten  is. 
Evenals  elke  vijfdegraadsruimtekromme  ligt  op  een  kubisch 
oppervlak  We  gebruiken  nu  de  eenvoudigste  afbeelding  van 
52*1  op  een  vlak  V,  bij  welke  in  F zes  singuliere  punten  F^,  . . ., 
voorkomen,  waaraan  resp.  zes  elkaar  kruisende  rechten  /j,  . . ., 
/,  van  52*1  toegevoegd  zijn.  Nemen  we  bijv.  in  F een  vijfdegraads- 
kromme  k'^  aan,  die  in  F^,....,  F,  dubbelpunten  bezit,  dan  behoort 
hierbij  op  52*,  een  vijfdegraadskromme  van  het  geslacht  één.  Immers 
heeft  de  in  F aangenomen  kromme  met  het  beeld  van  een  vlakke 
doorsnede  van  52*,,  dat  is  een  kubische  kromme  door  F,,  .....  F„ 
vijf  voor  de  afbeelding  niet  singuliere  punten  gemeen. 
Het  in  F gelegen  beeld  van  de  doorsnijding  IP  van  een  wille- 
keurig kubisch  oppervlak  52*,  met  52’,  is  een  kromme  van  den 
negenden  graad,  die  in  F,,  . . .,  F^  drievoudige  punten  bezit.  De 
kromme  k'^  wordt  dus  tot  een  k'^  aangevuld  door  een  rationale 
vierdegraadskromme  k'\  die  iti  F^  een  drievoudig  punt  en  in  F^,..., 
Ff  enkelvoudige  punten  heeft.  Daar  een  gegeven  kromme  /c'*  bijge- 
volg met  elk  exemplaar  van  een  lineair  systeem  van  go*  krommen 
k'*  het  beeld  is  van  de  basiskromme  van  een  52*,  bevattenden  bun- 
del van  oppervlakken  52*,  die  alle  door  F gaan,  vormen  de  derde- 
graadsoppervlakken door  F een  lineair  stelsel  van  oo''  exemplaren. 
Een  kromme  k'*  heeft  met  F*  tien  voor  de  afbeelding  van  52®, 
op  V niet  singuliere  punten  gemeen.  Twee  oppervlakken  52*  van 
Jif  hebben  dus  behalve  F nog  een  rationale  doorsnijdingskromme 
van  den  vierden  graad  F,  die  in  tien  punten  op  F rust. 
Van  het  oppervlak  harer  trisecanten  is  F dubbelkromme.  Immers 
heeft  de  projectie  van  F uit  een  harer  punten  op  een  willekeurig 
vlak,  een  kromme  van  den  graad  vier  en  het  geslacht  één,  twee 
dubbelpunten  en  gaan  door  zoo’n  punt  dus  twee  trisecanten  van 
Verder  heeft  dit  oppervlak  met  52*,  vijf  rechten  gemeen,  die  op  de 
vijf  rechten  van  F afgebeeld  worden,  welke  F^  met  de  andere 
