898 
punten  F verbinden;  dus  is  de  doorsnede  der  oppervlakken  van  den 
vijftienden  graad,  zoodat  het  oppervlak  der  trisecanten  een  vijfde- 
graadsoppervlak  p®  is. 
Er  is  in  2: ^ één  oppervlak  .52',  dat  een  willekeurig  gegeven  rechte 
r bevat.  Dit  oppervlak  is  de  m.p.  van  de  oo*  exemplaren  uit  de 
Go‘  vijfmaal  snijdende  kegelsneden  die  r tweemaal  treffen. 
Immers  zijn  van  een  dergelijke  kegelsnede  F en  42’  terstond  zeven 
snijpunten  aan  te  geven,  zoodat  een  kegelsnede  F,  waarvan  het 
vlak  door  r gaat,  steeds  op  het  r bevattende  oppervlak  42*  ligt. 
De  r tweemaal  snijdende  kegelsneden  k'  be|)alen  op  deze  rechte 
dus  een  involutie  /,  zoodat  er  twee  kegelsneden  zijn,  die  r (in 
de  dubbelpunten  van  1)  aanraken. 
In  komt  verder  één  monoïde  voor,  die  haar  top  in  een  wille- 
keurig gegeven  punt  P heeft.  Dit  oppervlak  42*p  is  de  m.p.  van  de 
kegelsneden  k',  die  door  P gaan.  Het  bevat  de  vijf  bisecanten  van 
F,  die  door  P gaan,  daar  deze  telkens  met  één  trisecante  van  P 
een  door  P gaande  kegelsnede  vormen.  Behalve  deze  vijf  rechten 
ligt  op  £P p nog  één  door  P gaande  rechte  /,  die  F niet  snijdt. 
Immers  heeft  de  kwadratische  kegel  der  nadere  raaklijnen  van  42*p 
in  P zes  rechten  met  dit  oppervlak  gemeen  en  liggen  de  tien  snij- 
punten van  den  kegel  met  P op  de  vijf  bisecanten. 
De  vlakken  der  door  P gaande  kegelsneden  F hebben  met  42*p 
nog  een  niet  snijdende  rechte  door  P gemeen,  gaan  dus  door  /. 
Omgekeerd  moet  elke  I tweemaal  snijdende  kegelsnede  F op  42* p 
liggen  en  dus  door  P gaan.  Voor  een  bij  een  punt  P behoorende 
rechte  / is  de  involutie  I dus  parabolisch.  De  twee  / aanrakende 
kegelsneden  vallen  in  een  door  P gaande  kegelsnede  samen. 
Behalve  de  complex  der  rechten  I is  er  nog  een  vijfdegraads- 
complex  van  rechten,  waarvoor  de  involutie  1 parabolisch  is.  Be- 
schouwen we  nl.  een  rechte  a,  die  P éénmaal  snijdt.  Een  kegel- 
snede F,  die  a tweemaal  treft,  moet  door  het  snijpunt  van  a en 
P gaan,  daar  anders  het  vlak  van  k£  zes  snijpunten  met  k*  zou 
hebben.  Door  elk  punt  P van  a gaat  één  dergelijke  kegelsnede  F, 
die  uit  42*p  gesneden  wordt  door  het  vlak,  dat  door  a en  de  bij  P 
behoorende  rechte  / gebracht  kan  worden.  Ook  voor  een  rechte  a 
hebben  we  dus  slechts  één  punt,  waar  een  kegelsnede  F haar  aanraakt. 
Om  den  graad  van  den  complex  der  rechten  I te  bepalen  nemen 
we  een  waaier  (P,  cp)  van  rechten  r en  onderzoeken  de  m.p.  der 
punten,  waarin  kegelsneden  deze  rechten  r aatiraken.  Dit  is  een 
kromme,  die  elke  rechte  van  (P,  </;)  buiten  P tweemaal  snijdt  en  in 
P een  dubbelpunt  heeft.  De  nadere  raaklijnen  in  dit  dubbelpunt  zijn 
tevens  de  nadere  raaklijnen  van  42*p  in  P,  die  in  <f  gelegen  zijn. 
