899 
Aan  deze  kromme,  die  dus  van  den  vierden  graad  is,  zijn  uit  haar 
dubbelpunt  P zes  raaklijnen  te  trekken  en  dit  zijn  rechten,  waar- 
voor de  involutie  I parabolisch  is.  Daar  er  in  den  waaier  (P,  v>) 
vijf  rechten  a voorkomen,  bevat  (P,  (p)  dus  één  rechte  l,  zoodat  de 
complex  C der  rechten  I lineair  is. 
C bevat  het  oppervlak  p®  der  tiisecanten  t van  P.  Nemen  we 
immers  P op  een  rechte  t,  dan  gaat  SPp  over  in  het  oppervlak 
der  bisecanten  van  die  t treffen  en  dus  met  t kegelsneden 
vormen,  die  door  P gaati.  Het  oppervlak  der  bisecanten  van  die 
een  willekeurige  rechte  snijden,  is  immers  van  den  vijftienden  graad, 
daar  het  de  richtlijn  tot  vijfvoudige  rechte  heeft  en  in  een  vlak 
door  de  richtlijn  tien  beschrijvenden  bezit.  Hiervan  splitsen  zich,  als 
we  een  trisecante  t van  P als  richtlijn  nemen,  drie  vierdegraads- 
kegels  door  t af,  zoodat  er  een  kubisch  oppervlak  oveiblijft,  dat  t 
tot  dubl)elrechte  heeft.  De  vlakken  der  P bevattende  kegelsneden 
gaan  nu  alle  door  de  lijn  t,  die  dus  als  rechte  I aan  P toege- 
voegd is. 
Hieruit  volgt,  dat  C,  als  niet  ontaard  is,  een  algemeene  lineaire 
complex  is.  Was  C namelijk  speciaal,  dan  zou  de  as  van  C een 
richtlijn  van  p®  zijn  en  wel  een  veelvoudige  richtlijn,  daar  p®  niet 
rationaal  is.  Maar  buiten  /t®  kunnen  twee  tiisecanten  van  deze 
kromme  elkaar  niet  snijden. 
We  merken  nog  op,  dat  een  trisecante  t bij  al  hare  punten  Pais 
rechte  / behoort. 
Aan  een  punt  P van  k^  zijn  oneindig  veel  rechten  toegevoegd. 
Deze  vormen  den  waaier  van  C,  die  P tot  top  heeft  en  bepaald  is 
door  de  beide  tiisecanten  van  k\  die  van  P uitgaan.  Voor  elk  der 
rechten  van  dezen  waaier  toch  moet  het  toegevoegde  punt  P in  het 
snijpunt  met  i®  vallen.  Nemen  we  P buiten  yi®  en  laten  we  dit 
punt  tot  P naderen,  dan  gaat  iPp  over  in  het  oppervlak,  dat  ge- 
vormd wordt  door  de  kegelsneden  die  door  een  bepaald  punt 
van  ^®  gaan  en  een  vlak  door  de  raaklijn  van  /t®  in  dit  punt  aan- 
raken. Bij  een  punt  P van  ^■®  behooren  dus  inderdaad  oo*  monoïden 
i2*P.  die  in  P haar  top  hebben  en  de  rechten  I van  deze  monoïden 
vormen  den  waaier  der  door  P gaande  rechten  van  C. 
De  lijnelementen  [F,  l)  van  deze  ^ vormen  nu  inderdaad  een 
bilineair  stelsel  van  co’  exemplaren,  waarvoor  A®  de  ra.p.  der  singu- 
liere punten  P en  p‘  het  regeloppervlak  der  singuliere  rechten  I is. 
Een  bilineair  stelsel  van  oo‘  lijnelenienten  (P,  l)  kan  steeds  uit  een 
ruimtekromme  k^  van  het  geslacht  één  afgeleid  worden  door  aan  elk 
punt  P toe  te  voegen  de  door  P gaande  en  P niet  snijdende  rechte 
I van  de  monoïde  van  den  derden  graad,  die  door  E gaat  en  in  P 
