901 
van  k'\  die  k"  snijden.  Dit  heeft  k’'‘  tot  vijfvoudige  en  k'^  tot  drie- 
voudige kromme  en  is  een  oppervlak  van  den  tienden  graad 
Immers  snijdt  k'^  het  vijftiendegraadsoppei'vlak  der  bisecanten  van 
k'*,  die  een  gegeven  rechte  treffen,  welk  oppervlak  k"‘  tot  vier- 
voudige kromme  heeft,  buiten  tienmaal. 
Bij  p'*"  behoort  een  congruentie  K (5,  5),  die  opgebouwd  is  uit  de 
waaiers  van  C,  welke  twee  rechten  van  p®  bevatten.  Van  deze 
waaiers  vormen  de  top|)en  dus  de  dubbelkromrne  van  p',  die  van 
den  vijfden  graad  is ; want  in  een  vlak  liggen  van  de  bij  p'*'  be- 
hoorende  congruentie  vijf  beschiijvenden  en  dus  ook  vijf  toppen  van 
waaiers  dier  congruentie.  Daar  van  een  punt  van  k'^  drie  beschrij- 
venden  van  p'^"  uitgaan,  zijn  de  rechlen  van  p‘  trisecanten  van  k^. 
Omgekeerd  ligt  elke  trisecante  t van  k^  op  p‘,  omdat  er  zes  snij- 
punten van  t met  p®  aan  te  wijzen  zijn  en  is  p‘  dus  het  oppervlak 
der  trisecanten  van  /t‘.  Daar  er  van  een  punt  van  k^  twee  trisecan- 
ten uitgaan,  is  deze  kromme  van  het  geslacht  één.  Ze  zal  in  het 
algemeen  niet  ontaard  zijn.  Bestond  namelijk  uit  een  biquadratische 
kromme  van  de  eerste  sooit  en  een  snijlijn  van  deze  kromme,  dan 
was  C een  speciale  lineaire  complex  en  voor  alle  andere  ontaardin- 
gen  van  k^  zou  p®  en  daarmede  k'^  samengesteld  zijn. 
Van  het  volgens  § 5 uit  k^  af  te  leiden  bilineaire  stelsel  aS,  van 
00  * lijnelementen  is  C nu  de  complex  der  lijnen  /.  Anders  toch 
zou  het  oppervlak  p‘  aan  twee  lineaire  complexen  gemeen  zijn  en, 
daar  het  dan  tot  een  bilineaire  congruentie  behoorde,  twee  rechte 
richtlijnen  hebben,  wat,  ook  al  zouden  twee  rechten  tot  behooren, 
niet  kan  voorkomen.  Ontaardde  k’’  bijv.  in  een  kubische  ruimte- 
kromme met  een  snijlijn  en  een  bisecante,  dan  zouden  immeis  ook 
de  bisecanten  der  kubische  kromme^  die  de  snijlijn  treffen,  tot  p® 
behooren. 
^ 6.  Voegen  we  telkens  aan  het  punt  P,  dat  in  S,  bij  een  rechte 
/ behoort,  het  aan  dezelfde  rechte  door  een  afbeelding  van  Nöther 
toegewezen  punt  Q toe,  dan  verki'ijgen  we  oo'  puntenparen  {F,  Q), 
die  een  birationale  transformatie  in  de  j-uimte  bepalen.  Voor  deze 
transformatie  is  het  punt  P van  dc  rechte  /j,  dat  we  ƒ*,  zullen 
noemen,  een  hoofdpunt.  De  bijbehoorende  punten  Q vormen  het 
vlak  V.  Verder  is  k^  een  kromme  van  singuliere  punten  P.  Bij  elk 
punt  van  behoort  een  k'^  snijdende  rechte  van  punten  Q.  De  aan 
de  punten  van  k^  toegevoegde  rechten  vormen  het  oppervlak  p''“. 
Er  zijn  twee  krommen  van  singuliere  punten  Q,  nl.  k'^  en  k'\ 
Aan  een  punt  van  k'^  zijn  de  punten  P toegevoegd  van  een  be- 
vattenden  waaier  van  C,  die  een  kegelsnede  k*  vormen,  welke  door 
