902 
Pj  gaat.  De  bij  de  punten  Q van  /l'’  behoorende  kegelsneden  /t* 
vormen  de  monoïde  die  in  P,  haar  top  heeft.  Aan  de  punten 
Q van  A'*  zijn  rechten  van  punten  P toegevoegd,  die  het  opper- 
vlak vormen. 
Wanneer  P een  rechte  doorloopt,  beschrijft  / een  kubisch  regel- 
oppervlak,  dat  vijf  beschrijvenden  van  bevat  en  Q dus  een 
kubische  kromme,  die  /t'*  driemaal  en  vijfmaal  snijdt.  Bij  een 
vlak  van  punten  P behoort  een  congruentie  (2,  2)  van  rechten  /, 
die  bevat  en  dus  een  biquadi-atisch  oppervlak  van  punten  Q, 
waarvan  dubbelkromme  is  en  dat  bevat. 
Beschrijft  Q een  rechte,  dan  doorloopt  / een  regelschaar,  die  /j 
bevat  en  P bijgevolg  een  rationale  vierdegraadskromme,  die  door 
P,  gaat  en  in  tien  punten  snijdt.  Aan  een  vlak  van  punten  Q 
is  een  bilineaire  congruentie  van  rechten  / toegevoegd,  die  /j  bevat 
en  dus  een  kubisch  oppervlak  van  punten  P,  dat  door  Pj  gaat  en 
bevat. 
De  puntenparen  {F,  Q)  bepalen  dus  een  birationale  trajisforrnatie 
(3,  4).>) 
§ 7.  Een  kromme  van  den  n®”  graad,  die  m maal  snijdt,  treft 
een  oppervlak  in  Sn — in  voor  niet  singuliere  punten  en  snijdt 
5n — 2m  beschrijvenden  van  buiten  F.  Hieruit  volgt: 
De  rechten  l,  die  in  toegevoegd  zijn  aan  de  punten  P van  een 
kromme  van  den  graad,  die  D m maal  snijdt,  vormen  een  regel- 
oppervlak  van  den  graad  3?i — m,  dat  5n — 2v/<  beschrijvenden  met 
gemeen  heeft. 
Beschouwen  we  omgekeerd  een  regeloppervlak  van  den  graad  v, 
dat  n beschrijvenden  met  gemeen  heeft,  dan  volgt  door  r en  p 
resp.  aan  Sn — m en  5n — 2m  gelijk  te  stellen  en  uit  de  verkregen 
vergelijkingen  n en  m op  te  lossen : 
De  punten  P,  die  in  behooren  bij  de  rechten  l,  welke  een  opper- 
vlak vormen  van  den  graad  r,  dat  g beschrijvenden  met  q’’  gemeen 
heeft,  vormen  een  kromme  van  den  graad  2v — p,  die  P in  5v — S(i 
jmnten  snijdt. 
Een  oppervlak  van  den  graad  p,  dat  P g-voudig  bevat,  woi'dt 
door  een  kegelsnede  P en  een  beschrijvende  van  resp.  in  2yi7 — hq 
en  p — Sq  voor  aS,  niet  singuliere  punten  gesneden. 
Bij  de  punten  P van  een  p^-graadsoppervlak,  dat  P tot  q-voudige 
kromme  heeft,  behooren  in  aS,  dus  de  rechten  I van  een  congruentie 
{2p — hq,  2p — 5^),  waarvan  de  beschrijvenden  van  {p — Sqfvoudige 
rechten  zijn. 
b Verg.  Sturm  ; ^Geometrische  Verwandtschafteri' , IV  p.  371. 
