903 
Omgekeerd  volgt  hieiiiit  nu  weer  gemakkelijk: 
Aan  een  congruentie  {71, ji)  van  rechten  l,  die  de  heschrijvenden  van 
yt-voudig  bevat,  is  een  oppervlak  van  punten  P toegevoegd,  dat 
van  den  graad  3jr — 5j{  is  en  k’’  tot  (.t — 2yi)-voudige  kromme  heeft. 
Van  de  door  bepaalde  afbeelding  der  stralen  van  C op  de 
punten  der  ruimte  zijn  allerlei  toepassingen  te  maken.  Vragen  we 
bijv.  naar  het  aantal  der  kegelsneden,  die  vijfmaal  snijden  en 
bovendien  drie  gegeven  rechten  r treffen.  Deze  kegelsneden  zijn  de 
afbeeldingen  der  waaiers  van  C,  die  van  elk  van  de  drie  bij  de 
rechten  r behoorende  oppervlakken  p*  één  rechte  bevatten  en  dus 
hun  toppen  hebben  in  de  27  snijpunten  dezer  drie  oppervlakken. 
Er  zijn  dus  27  kegelsneden,  die  een  ruimtekromme  van  den  vijfden 
graad  en  van  het  geslacht  één  vijfmaal  treffeyi  en  drie  gegeven  rechten 
snijden. 
§ 8.  We  bepalen  ten  slotte  de  tot  C' behoorende  regeloppervlakken, 
die  toegevoegd  zijn  aan  de  rechten  van  een  kubisch  oppervlak  iP , 
dat  de  meetkundige  plaats  is  der  punten  P van  de  rechten  l,  die 
een  willekeurige  rechte  r en  dus  ook  de  aan  r t.  o.  v.  C toegevoegde 
rechte  r'  snijden. 
De  rechten  r en  r' , die  beide  op  £P  liggen,  zijn  de  afbeeldingen 
van  de  oppervlakken  (>*  en  9",  die  resp.  bij  deze  rechten  behooren. 
Verder  behooren  de  vijf  voor  aS,  singuliere  rechten  t vaii  die 
r snijden,  tot  iP,  daar  aan  elk  dezer  rechten  al  hare  punten  als 
punten  P toegevoegd  zijn.  Deze  rechten  snijden  behalve  r ook  r' 
en  zijn  trisecanten  van  k\ 
De  waaier  van  C,  die  het  snijpunt  van  r met  een  rechte  t tot 
top  heeft  en  waarvan  het  vlak  dus  door  r'  gaat,  bezit,  daar  de  tot 
den  waaier  behoorende  rechte  t zich  van  de  toegevoegde  kegelsnede 
afsplitst,  een  rechte  van  punten  P,  die  k^  tweemaal  snijdt  en  r' 
treft.  Er  liggen  dus  vijf  bisecanten  van  k^  op  PP,  die  r'  snijden. 
Evenzoo  vinden  we  op  iP  vijf  bisecanten  van  kj  welke  r treffen 
en  toegevoegd  zijn  aan  de  waaiers  van  C,  die  de  snijpunten  van  r' 
met  tot  top  hebben. 
Eindelijk  zullen  voor  een  regelschaar,  die  r en  r'  tot  richtlijnen 
heeft  en  drie  beschrijvenden  van  (f  bevat,  dus  tot  C behoort,  drie 
trisecanten  van  E zich  van  de  toegevoegde  vierdegraadskromme 
afsplitsen.  Een  dergelijke  regelschaar  wordt  dus  afgebeeld  op  een 
rechte,  die  éénmaal  snijdt,  maar  met  r en  r'  geen  punt  gemeen 
heeft.  Er  liggen  op  LP  tien  rechten  van  deze  soort; 
Hier-mede  zijn  de  afbeeldingen  der  27  rechten  van  LP  gevonden. 
Wanneer  de  rechte  r tot  6 behoort  en  dus  een  rechte  / is,  hebben 
59 
Verslagen  der  Afdeeling  Natuurk.  Dl.  XXXII.  A®.  1923. 
