III. Die Realität der Wendepunkte irrationaler 
Kurven dritter Ordnung. 
Von Prof. Dr. Richard Heger. 
Mit 1 Abbildung. 
Das Auftreten von Wendepunkten an Kurven III. Ordnung ist bereits 
von Newton bemerkt worden. Im Jahre 1748 gab Mac Taurin den 
Satz, dafs die Gerade zweier Wendepunkte eine Kurve III. Ordnung noch 
einen dritten Wendepunkt mit der Kurve gemein hat. Die Grundlegung 
der Lehre von den Wendepunkten, die wir heute kennen, erfolgte erst 
viel später, durch Julius Plücker, der sie 1835 in seinem berühmten 
„System der analytischen Geometrie“ veröffentlichte. Plücker war sich 
der wissenschaftlichen Bedeutung des von ihm Dargebotenen voll bewufst; 
in der Vorrede sagt er: „Vor allem findet man neue und fast die ersten 
Untersuchungen über Wendungspunkte, deren Betrachtung zu den subtilsten, 
die die Geometrie bietet, zu gehören scheint. Ich gebe ihre allgemeine 
Konstruktion und bestimme namentlich ihre Anzahl bei algebraischen 
Kurven. Die Kurven der IILOrdnung haben im allgemeinen neun Wendungs- 
punkte, und unter diesen sind immer drei reelle und sechs imaginäre. Die 
Diskussion hierüber knüpft sich an Gleichungen, deren Grad zu hoch an- 
steigt, als dafs wir auf dem Wege der blofsen Elimination zu einem 
Resultate kommen könnten. Die unmittelbare Anschauung mufs wenigstens 
einen neuen, noch verwegeneren Flug nehmen als bisher, um das zu be- 
greifen, was in allen Fällen imaginär ist und imaginär bleibt. Unsere 
Methode führt hier leicht zum Ziele; ja, unmittelbar sogar erkennen wir 
in der Form 
pqr ^ s 3 = 0 
die Notwendigkeit der obigen Behauptung, dafs eine Kurve III. Ordnung 
immer neun Wendungspunkte hat, von denen immer sechs imaginär sind“. 
Mit dem Beweise dieses letzten Satzes werden wir uns heute be- 
schäftigen. 
Zwischen den so zuversichtlichen Worten der Vorrede und dem Inhalte 
des Werkes besteht eine gewisse, unverkennbare Unstimmigkeit. Der 
Beweis unseres Lehrsatzes wird nämlich an keiner Stelle des Werkes all- 
gemein, vollständig und zwingend vorgetragen. Einen seiner Beweise hat 
Plücker allerdings vollständig und einwandfrei durchgeführt, aber dieser 
bezieht sich nicht auf den allgemeinen Fall, sondern nur auf eine be- 
sondere Gruppe von Kurven III. Ordnung. Schon zu Plückers Zeiten lag 
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