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ein Verfahren nahe, diesen Beweis zur Allgemeingültigkeit zu erheben; 
aber Plücker ist nicht darauf zugekommen. Der andere von PI ücker 
gegebene Beweis kann nicht als zutreffend bezeichnet werden. 
Unter Pliickers Nachfolgern in bezug auf den Beweis unseres Satzes 
ist zunächst Cremona zu nennen. Er beruft sich auf einen von ihm auf- 
gefundenen Satz über äquianharmonische Punktgruppen, der aber in der 
verwendeten Gestalt nicht gültig ist; auf denselben Satz bezieht sich 
Schröter. Vor Schröter gab Durege einen Beweis, der ebenfalls 
zurückgewiesen werden mufs. Den einzigen vollständigen und einwand- 
freien Beweis verdanken wir Cie b sch, der ihn teils unter Berufung auf 
geometrische Anschauung, teils analytisch geometrisch führt. Zum Schlüsse 
werden wir einen rein analytisch -geometrischen Beweis hinzufügen. 
Wir wenden uns nun zu Plücker zurück. Der dritte Abschnitt des 
„Systems der analytischen Geometrie ", der mehr als die Hälfte des ganzen 
Werkes umfafst, ist, abgesehen von einigen allgemeinen Untersuchungen, 
den Kurven III. Ordnung gewidmet. In § 5 gibt Plücker eine Einteilung 
dieser Kurven in 219 Klassen, wobei er die Asymptoten als Einteilungs- 
grund verwendet. Von Wendepunkten ist bis an diese Stelle nur gelegent- 
lich, bei besonderen Kurven, die Rede gewesen; die allgemeinen Unter- 
suchungen über die Wendepunkte der Kurven III. Ordnung, besonders über 
deren Anzahl, folgen erst später. Immerhin wird der Begriff eines Wende- 
punktes einer Kurve III. Ordnung bereits vor Eintritt in den § 5 festgestellt. 
Bei der den § 5 erfüllenden kurzen Beschreibung aller 219 Klassen wird 
in den meisten Fällen die Anzahl der realen Wendepunkte angegeben. Am 
Anfänge der Beschreibung gibt Plücker in einer Fufsnote einen geo- 
metrischen Beweis dafür, dafs eine Kurve III. Ordnung mit drei realen 
Asymptoten, die ein ganz im Endlichen liegendes, nicht verschwindend 
kleines Dreieck begrenzen, und deren im Endlichen gelegene Schnittpunkte 
mit der Kurve aufserhalb des Asymptotendreiecks liegen, drei reale Wende- 
punkte hat. Diese Kurven der 1. Plücker sehen Art bestehen aus zwei 
Zügen; der erste liegt ganz im Innern des Asymptotendreiecks und ist 
geschlossen; der andere kann auch als geschlossener Zug betrachtet 
werden, „wenn man in Erwägung zieht, dafs jeder Zug, der an einer 
Asymptote sich immer weiter hinzieht, durch das Unendliche hindurch- 
gehend, auf der andern Seite der Asymptote und nach ihrer entgegen- 
gesetzten Erstreckung wieder erscheint“. 
Plücker macht hier folgende Anmerkung: „Wenn ein Zweig einer 
Kurve eine gerade Linie schneidet und nachher an derselben als seiner 
Asymptote sich hinzieht, so hat er notwendig einen Wendungspunkt. 
Denn für denselben gibt es, nachdem er die Asymptote geschnitten hat, 
offenbar ein Maximum der Entfernung von dieser Asymptote, und diesem 
Maximum entspricht, dafs die Tangente der Kurve der Asymptote parallel 
ist. Rückt die Tangente, von dieser Lage aus, immer weiter fort, bis sie 
endlich mit der Asymptote zusammenfällt, so erreicht sie, zwischen diesen 
beiden parallelen Grenzlagen, wenigstens einmal eine solche Lage, in der 
ihre Neigung gegen die Asymptote ein Maximum ist. Ihr Fortrücken wird 
in dieser Lage gehemmt und erfolgt nachher in entgegengesetztem Sinne. 
Die Tangente in dieser Lage berührt die Kurve in einem Wendungs- 
punkte“. 
Indem Plücker diese Betrachtung auf die Kurven III. Ordnung 1. Art 
anwendet, schliefst er, dafs es hier drei reale Wendepunkte gibt. Richtiger 
