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wäre es gewiesen, zu behaupten, dafs wenigstens drei reale Wendepunkte 
vorhanden sein müssen; die Beschränkung auf drei wird hier in keiner 
Weise bewiesen. Erwünscht wäre, wenn Plücker an dieser Stelle der Voll- 
ständigkeit wegen die naheliegende Bemerkung gemacht hätte, dafs seine 
Schlufsweise nicht für Kurvenzweige gilt, die einen Doppelpunkt oder einen 
Rückkehrpunkt enthalten. 
Für den Fall, dafs eine Kurve III. Ordnung nur eine reale Asymptote hat, 
neben zwei konjugiert komplexen, behauptet Plücker das Vorhandensein von 
(wenigstens) drei realen Wendepunkten ohne jeden Beweis. Vielleicht 
hielt er den Beweis für so naheliegend, dafs er ihn glaubte übergehen zu 
dürfen. Er hätte diesen Fall auf den dreier realer Asymptoten in folgen- 
der Weise zurückführen können: Verbindet man zwei beliebige reale Punkte 
Pund Q der Kurve durch eine Geradem, so hat diese noch einen dritten 
realen Punkt P mit der Kurve gemein, der im allgemeinen nicht unend- 
lich fern ist. Entwirft man von der Figur ein Mittenbild auf eine Ebene, 
auf die sich a als unendlich ferne Gerade abbildet, so ergibt die Kurve 
ein Bild mit drei realen Asymptoten. Da nun hierbei die Wendepunkte 
erhalten bleiben, so folgt, dafs jede irrationale Kurve III. Ordnung wenigstens 
drei reale Wendepunkte haben mufs. An diese Schlufsweise hat Plücker 
offenbar nicht gedacht, sonst würde er eine darauf bezügliche Bemerkung 
gemacht haben. Immerhin kann man gegen die Anwendung dieses Beweis- 
verfahrens das pädagogische Bedenken haben, dafs es auf gewissen geo- 
metrischen Anschauungen beruht, die bei dem Anfänger wenigstens noch 
nicht so entwickelt und befestigt sind, um als Grundlage für einen so 
wichtigen Lehrsatz dienen zu können. Bei einem analytisch-geometrischen 
Lehrgänge unterbricht zudem ein rein geometrischer Schlufs die analytische 
Entwickelung in unwillkommener Weise. 
Zu den 219 Klassen hat Plücker ebensoviele, in 61 Gruppen zusammen- 
gefafste Figuren auf fünf Kupfertafeln beigegeben. Für diesen umfassenden 
Einblick in denFormenreichtum der Kurven III. Ordnung mufs man Plücker 
danken; daneben kann aber die Bemerkung nicht unterdrückt werden, dafs 
mehrere der Figuren nur unzulängliche Skizzen sind. Wiederholt kommt 
es vor, dafs ein Kurvenzug als Teil von mehreren Kurven III. Ordnung 
gelten soll. An einigen Stellen sind die Figuren falsch bezeichnet*). Die 
realen drei Wendepunkte sind wiederholt da, wo sie Vorkommen sollten, 
nicht erreicht und nirgends hervorgehoben. 
In der Nr. 296 wird der Begriff Wendepunkt für eine Kurve n - ter Ordnung 
festgestellt; in 298 wird der Satz gewonnen, dafs eine Kurve w-ter Ordnung 
im allgemeinen Sn 2 — 6 n Wendepunkte hat; in 299 wird eine Kurve 
III. Ordnung abgeleitet, die durch die Wendepunkte einer gegebenen Kurve 
III. Ordnung hindurchgeht. Dann folgt der Beweis dafür, dafs eine Kurve 
III. Ordnung mit drei unendlich fernen realen Wendepunkten 
aufserdem noch sechs imaginäre Wendepunkte haben mufs. Man kann 
diesen Beweis sofort zur Allgemeingültigkeit ergänzen, wenn man von 
einer Kurve, die drei reale Wendepunkte auf einer nicht unendlich fernen 
Geraden hat, ein Mittenbild entwirft, wobei das Bild der Geraden der 
drei realen Wendepunkte unendlich fern ist. Wir geben Plückers 
Beweis in neuerer Ausdrucksweise wieder, und zwar sofort für den allge- 
*) Zur 78. bis 85. Art sollen, wie auf S. 229 steht, die Figuren XVIII, Nr. 4 bis 8 
gehören, die es aber gar nicht gibt. 
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