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meinen Fall. Ist g x — 0 die Gleichung der Wendepunktsgeraden und legt 
man der Koordinatenbestimmung das Asymptotendreieck zugrunde, so ist 
die Gleichung der Kurve von der Gestalt 
1) F=6Xj x 2 x 3 + gl = 0- 
wobei es nicht nötig ist, an gl noch einen Faktor anzubringen. 
Aus 1) folgt 
1 dF o 
= 2 Xk Xi + g i g* x . 
1 d*F 
3 d Xi 
= Xi + g k gi g x , 
1 d' 2 F 
6 d xl 
F 9* 
g\g * y% 
y-i g\g* 2/1 
Vi Vi gl 9* 
6 d Xk Xi 
Setzt man zur Abkürzung 
Xi + gn gi g x = yt, 
so ergibt sich für die Hessescbe Kurve die Gleichung 
V 2 1 
| gl g\ g\ gl - (gl y\ + g\ v\ + g\ vl) g* 
+ 2 y x y 2 y s = 0 . 
Nun ist 
g] y 1 = gl *? + ^9i9» g s g* -g^i + g\ g\ g\ gl . 
2 (glyD = 2 + 2 g 1 g i g»- 9 l + %9\9\9\9l' 
Vi 2/2 y t = «1 »2 ^3 + g x 2 g k g t x k x i + 9 i g* 9 s gl + g'l g\ g\ gl ; 
die Gleichung der Hess eschen Kurve vereinfacht sich daher zu 
2 x, * 2 x s + 2 g x 2 g t g k x. x k — g x 2g*x* = 0. 
Setzt man hier 
2 2 g. c Jk x t x k = g\ - 2 (g* **), 
so ergibt sich 
2 ) 2 x i x 2 *3 + gl — 2 g x 2 (dl x l) = o. 
Die Wendepunkte befriedigen 1) und 2), also auch die aus beiden 
folgende Gleichung 
3) 
gl 3 g x 2 (gj xj) = 0, 
oder, nach Unterdrückung des Faktors g ., 
4) 
fl'* 
3 2 (rf xf) = 0 
Da nun 
2 (g. - 3 2/ ( x } 2 S: ; - 6 gl + 9 2 <# afl 
= -3(^-32[^^]), 
so ist 4) gleichbedeutend mit 
B ) _ 2 (g x 3 g ( xtf- — 0. 
Dies ist die Gleichung eines imaginären Kegelschnitts, der mit 1) 
keine realen Punkte gemein haben kann. Daher folgt, dafs eine irratio- 
nale Kurve III. Ordnung neben drei realen noch sechs paarweis konjugierte 
Wendepunkte hat. 
Hiermit ist ein Beweis des Plücker sehen Wendepunktsatzes voll- 
ständig und allgemeingültig durchgeführt. 
Plücker hielt den Beweis seines Satzes durch das, was er in § 5 
und § 6 mitgeteilt hatte, für vollständig erbracht. Trotzdem er dies 
