Bl 
wiederholt ausgesprochen hat, gibt er doch im Schlufsparagraphen des 
„Systems“ noch weitere Beweisversuche. Dieser letzte Abschnitt ist aus- 
schliefslich dem weiteren Ausbaue der Lehre von den Wendepunkten ge- 
widmet und darauf begründet, dafs man jeder binären kubischen Funktion 
die Gestalt geben kann 
6) pqr + [lis 3 = 0, 
wobei pqr und s lineare Funktionen sind. Die Frage, ob diese bei jeder 
realen Kurve III. Ordnung real bestimmt werden können, wird zunächst 
nicht in Angriff genommen. 
Von der Form 6) ausgehend, kommt Plücker zu der von der Frage 
der Realität der Wendepunkte nicht abhängenden höchst bedeutenden 
Entdeckung, dafs die neun Wendepunkte einer Kurve III. Ordnung zu je 
dreien auf 12 Geraden liegen und erkennt, dafs neben der Geraden der 
drei realen Wendepunkte noch drei Wendepunktsgerade real sind, deren 
jede durch einen der drei realen Wendepunkte geht. In der nächsten 
Nummer (Nr. 323) fährt Plücker fort: 
„Die direkte Nachweisung, dafs und unter welchen Modifikationen 
die allgemeine Gleichung III. Grades zwischen zwei Veränderlichen sich 
immer in die Form 
pqr + = 0 
bringen läfst, beruht auf der Diskussion von Gleichungen, die wenigstens 
den 12. Grad erreichen, und die wir auf dieselbe Weise, als wir es im 
ersten Paragraphen dieses Abschnitts getan haben, einleiten können. Was 
dort aber leicht möglich war, weil die bezügliche Umgestaltung (nämlich 
in pqr -f- fxs = 0) nur auf einzige Weise stattfand, wird hier, wenigstens 
praktisch, unausführbar. Allen diesen algebraischen Entwicklungen sind 
wir in der Diskussion der vorigen Nummer (322) überhoben worden, indem 
wir die obige Form der Gleichung mit dem schon bewiesenen Resul- 
tate, dafs eine Kurve III. Ordnung im allgemeinen neun Wendungspunkte 
und unter diesen immer drei reelle und sechs imaginäre hat, in Verbindung 
gebracht haben. Wir können aber den Gesichtspunkt für diese Diskussion 
noch höher wählen, indem wir die Notwendigkeit des eben erwähnten 
Resultats durch unmittelbare Betrachtungen ebenfalls wieder aus der 
Form der Gleichung 
pqr + fxs 3 = 0 
ableiten.“ 
Der unmittelbare Beweis Plückers gliedert sich in vier Teile. Aus 
der Möglichkeit der obigen Gleichungsform schliefst Plücker zunächst, 
dafs immer drei Wendepunkte vorhanden sind, die in gerader Linie liegen 
und entweder real oder imaginär sind. 
Hierauf wird bewiesen, dafs eine Kurve III. Ordnung nicht mehr als 
drei reale Wendepunkte haben kann. „Denn“, sagt Plücker, „die Linie, 
die irgend zwei reale Wendepunkte verbindet, schneidet die Kurve in einem 
dritten realen Punkte, der ebenfalls ein Wendepunkt ist; und es gibt kein 
System von mehr als drei realen Punkten, von denen je zwei mit einem 
und nur mit einem einzigen dritten in gerader Linie liegen“. Für diesen 
Satz bleibt aber Plücker den Beweis schuldig; er dürfte auch nicht von 
andrer Seite bewiesen worden sein. Vorher, als Bemerkung zu Nr. 322, 
wird behauptet, dafs nicht jede Anzahl von Elementen sich so zu dreien 
kombinieren lasse, dafs in den verschiedenen Gruppen alle Kombinationen 
